Calculo

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12 Integral Indefinida
Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer calcular a sua posição em um momento qualquer;conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços, e assim por diante. O processo de obter uma função a partir de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. Exemplos: 1) F ( x) = 2)

x3 + 5 x + 2 é uma primitiva de f ( x) = x 2+ 5 , pois F ’(x) = x2 + 5. 3

F ( x) = ln( x) + cos( x) − 7 ,
F´(x) = 1 − sen ( x) . x

x

>

0,

é

uma

primitiva

de

f ( x) =

1 − sen ( x) , x

pois

Observação: A primitiva não é única. De fato, a função f ( x) = x 2 + 5 , por exemplo, poderia ter
F ( x) = x3 x3 x3 + 5 x + 5 , F ( x) = + 5 x − 1 ou F ( x) = + 5 x + C , onde C é uma constante qualquer, 3 3 3como primitiva. O mesmo se aplica para a função do exemplo 2). Portanto, temos a seguinte propriedade para primitivas:

Propriedade: Se F é uma primitiva de uma função contínua f, então qualquer outra primitiva de f
tem a forma G(x) = F(x) + C, onde C é uma constante.

Integral Indefinida: Se f é uma função contínua, então a sua integral indefinida é dada por

∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,
110 onde F é uma primitiva de f, C é uma constante, chamada constante de integração, o símbolo



é

chamado sinal de integração, f(x) é o integrando e dx é a diferencial de x, neste contexto, um símbolo indicando que a primitiva deve ser calculada em relação à variável x.

Dica: Para verificar se uma primitiva foi calculada corretamente, determine a derivada da solução
F(x) + C. Se essaderivada for igual a f(x), então a primitiva está correta; se for diferente, existe algum erro nos cálculos.

A ligação que existe entre derivadas e primitivas permite usar regras já conhecidas de derivação para obter regras correspondentes para a integração. Assim temos o que chamamos de

integrais imediatas, as quais são apresentadas na tabela abaixo:

∫ k dx = kx + C ,
n

k cons tan te∫ sen( x)dx = − cos( x) + C ∫ sec
2

x n +1 ∫ x dx = n + 1 + C , ∀ n ≠ −1 1 ∫ x dx = ln x + C , ∀ x ≠ 0

( x)dx = tg ( x ) + C
2

∫ cos sec

( x)dx = − cot g ( x) + C

∫e

x

dx = e x + C

∫ sec(x) tg(x)dx = sec(x) + C

∫ cos( x) dx = sen( x) + C

∫ cos sec( x) cot g ( x)dx = − cos sec( x) + C

Regras algébricas para Integração Indefinida: 1) ∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x)dx , k uma constante qualquer.

2)

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx

Observação: Não existe regra para a integral do produto e do quociente de duas funções.

111

Exemplos: Calcule as integrais indefinidas abaixo: 1) ∫ ( x 32 −

6 x

+ 8x 5 +

1 x 33 4x6 1 x 2 − x − 4)dx = − 12 x + − − − 4x + C 33 3 x 2 x2

 x3 + 2x − 7  7 x3  dx = ∫  x 2 + 2 − dx = + 2x − 7 ln x + C 2) ∫    x x 3   

3)

 ex   ex  e x 2x5 / 2  + x x  dx = ∫  + x 3 / 2  dx = + +C ∫ 2   2  2 5    

4)

∫ sen

1
2

( x)

dx = ∫ cos sec 2 ( x) dx = − cot g ( x) + C

5)

∫ (cos(t ) − sec(t ) tg (t ) ) dt = sen(t ) − sec(t ) + C
2/3

6) Estima-se que daqui a t meses a população de certa cidade esteja aumentando à taxa de 4+5thabitantes por mês. Se a população atual é 10.000 habitantes, qual será a população daqui a 8 meses? Solução: Seja p(t) a população da cidade no tempo t (medido em meses). A taxa de variação de uma função é dada pela sua derivada. Assim, temos p´(t) = 4 + 5t2/3 p (t ) = ∫ (4 + 5t 2 / 3 ) dt = 4t + 3t 5 / 3 + C . Como p(0) = e, portanto,

10.000, substituindo na equação,

encontramos C = 10.000. Logo,...
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