Calculo

Polos Olímpicos de Treinamento
Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes

Aula

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Rela¸˜es de Girard - Parte I co
Ao estudar as equa¸˜es (polinomiais) do 2o grau, vocˆ deve ter aprendido que ´ poss´ co e e ıvel calcular a soma e o produto das ra´ ızes, mesmo sem conhecˆ-las. Vamos recordar essas e f´rmulas. o Sejam x1 e x2 as ra´ ızes da equa¸˜o ax2 + bx + c = 0. Assim, podemos escrever ca ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) ⇒ ax2 + bx + c = ax2 − a(x1 + x2 )x + ax1 x2 . Igualando os coeficientes de termos de mesmo grau, obtemos b = −a(x1 + x2 ) e c = ax1 x2 , ou seja, b x1 + x2 = − , a c x1 x2 = . a Agora, n˜o pense mais em soma e produto das ra´ a ızes e, sim, que s˜o somas das ra´ a ızes separadamente e, depois, aos pares. Para um conjunto de 3 ra´ ızes, por exemplo, a soma delas separadamente seria x1 + x2 + x3 e, aos pares, x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 . Al´m disso, ainda e haveria a soma delas de 3 em 3: x1 x2 x3 , que, nesse caso, coincide com o produto. Com essas express˜es e repetindo os c´lculos acima para uma equa¸˜o ax3 +bx2 +cx+d = o a ca 0, cujas ra´ ızes s˜o x1 , x2 e x3 , obtemos a b x1 + x2 + x3 = − , a x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = c , a

d x1 x2 x3 = − . a E isso pode ser extendido para equa¸˜es polinomiais de qualquer grau, sempre dividindo co pelo primeiro coeficiente, que ´ sempre diferente de zero, e fazendo alternˆncia de sinais. e a

´ POT 2012 - Algebra - N´ ıvel 2 - Aula 18 - Prof. Marcelo Mendes

Tais resultados s˜o conhecidos como Rela¸oes de Girard (Albert Girard (1590 - 1639)). a c˜ Por exemplo, se a equa¸˜o for 2x4 + 3x2 + 8x + 1 = 0, ent˜o ca a x1 + x2 + x3 + x4 = 0, 3 x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 = , 2 8 x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = − = −4, 2 1 x1 x2 x3 x4 = . 2 o grau cujas ra´ Problema 1. Determine uma equa¸˜o do 3 ca ızes sejam 1, 2 e 3. Solu¸˜o. O resultado ´ imediato escrevendo ca e (x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0 ⇔ x3 − 6x2 + 11x − 6 = 0. Mas tamb´m podemos criar os coeficientes da equa¸˜o