Calculo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

CAPÍTULO 5

Alunas: Jéssica Augusta Pereira da Silva Laynara Xavier Barroso Luisa de Franco Fidalgo Vanessa de MouraSantana
1

Exercícios 5.4

1. Calcule: a) ∭ ∭ onde B é o paralelepípedo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2. ∫ ∫ ∫ ∫ = = =∫ ∫ =∫



b) ∭

onde B é o conjunto



∬ (∫ ∫ (∫ )

) ∫

∬∭

∭ √

dxdydz onde B é o conjunto 0≤x≤1,0≤y≤1 e 0≤z≤1.

∭ √

dxdydz = ∫ ∫ ∫ √ = ∫ √

=∫ ∫ √ = ∫ √

2

Fazendo substituição trigonométrica : ∫ √ Sendo z=sen; dz=cos Sabendo que ∫ √d =∫ d= sencos/2 +/2 ,e aplicando em um triangulo retângulo .Temos que: =√ ∫ √ d

Voltando a equação original √ Sen=z/1=z e e cos= √

A plicando na integral encontrada com 0≤z≤1

Temos: ∫ √

[sencos/2 +/2] =[ z √ =[ 1 √ /2 +arcsen1/2]- [ 0 √

/2 +arcsenz/2] /2 +arcsen0/2]

= arcsen1/2=(π/2)/2=π/4 ∭ √ e)∭ onde B é o conjunto x2+y2≤z≤2x







=∬

Intersecção x2+y2=2x...Fazendo completamento de quadrado ,temos que : x2+2x +y2 =0 3

x2+2x +1+y2 =1... (x-1)2+y2=1

Mudança de variável { =

Mudança de parâmetros 0≤ ≤1 0≤≤2π Calculando



∫ ∫ ∭

∫ ( ) (

= ∫)d= ∫



=

= (| = (2π-0)=

∭( 1. Solução: ∭

)

é

∬ *∫

+

∬(

)

-passando para coordenadas polares:

4

2.{ - Jacobiano: | | = =

3.{

4.∫

∫ ( ∫ ∫

) | ∫

∫∫



* Integração por partes:

Temos que: ∫ ∫ ∫ ∫ –∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Substituindo na integração:



5



onde B é o conjunto x2+4y2≤1, 0≤z≤1.





Achando k Mudança de variávelx= cos 2y= sen ... y= sen /2 Mudança de parâmetros 0≤≤2π 0≤ ≤1 Calculando ∭ . ∫ ∫ ( ) )d d= d= ¼∫ ∫ ∫ ( ) = = /2

=1/4∫ = 1/12∫ ∭

d = 1/12[-cos] =1/12[-cos2π-(-cos0)]=(1/12)x(0)=0

n) ∭ onde Bé o conjunto Coordenadas cilíndricas: 01) Mudança de Variável: { Jacobiano: | |

,

02) Verificação de Parâmetros:

π

6

03) Calcular: ∫
π⁄


π⁄

∫ ∫

∫ 



π⁄

∫  ∫...
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