calculo

O Teorema do Confronto
Méricles Thadeu Moretti
MTM/PPGECT/UFSC

Introdução
O Teorema do Confronto (The Pinching Theorem), às vezes é chamado de Teorema do
Sanduíche, é utilizado no cálculo de limite e na demonstração de outros teoremas.
Teorema 1: Teorema do confronto.
Suponhamos que f(x) g(x) h(x) e que exista r > 0, tal que, 0 < |x – a| < r. Nestas condições, se lim f (x) = lim h(x) = L , então lim g(x) = L . x →a

x →a

x →a

Este teorema é válido também se no lugar de x→a colocarmos x → + ou x → - .

Exemplo 1.

Calcular lim

x →+∞

x+1 − x

Desenvolvimento lim x →+∞

Comentários
O problema dado é uma indeterminação do tipo
∞-∞.

x+1 − x

x+1 − x = ( x+1 − x )( x+1 − x =

x+1 + x
)
x+1 + x

1 x+1 + x

0<

lim

de

representar

a

função

1
>0
x+1 + x
1
1
1
x+1 > x
<
= x+1 + x x+ x 2 x
1
Uma vez que lim 0 = 0 e que lim
=0,
x →+∞ x →+∞ 2 x o Teorema do Confronto pôde ser aplicado. x+1 + x > 0

1
1
< x+1 + x 2 x

x+1 − x = lim

x →+∞

Outra forma x+1 − x .

1
=0
x+1 + x

x →+∞

Usando o teorema do confronto, podemos escrever o seguinte teorema:

Teorema 2: Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A e tais que lim f (x) = 0 e x →a

|g(x)| ≤ M para todo x em A, sendo M um número real fixo. Nestas condições, lim f (x)g(x) = 0 . x →a

Este teorema continua válido se no lugar de x→a colocarmos x → + ou x → - .
Calcular lim x 2 g(x), sendo g(x) =

Exemplo 2.

x →0

1, se x ∈ Q
-1, se x ∉ Q

Como lim x = 0 e |g(x)| ≤ 1, usando Teorema 2 concluímos que lim x 2 g(x) = 0 .
2

x →0

Exemplo 3.

x →0

Calcular lim x sen x →0

Como lim x = 0 e | sen x →0

1 x 1
1
|≤ 1 , usando Teorema 2 concluímos que lim x sen = 0. x →0 x x

Exemplo 4.

Calcular lim

x →+∞

senx x 1
1
= 0 e | senx |≤ 1 , usando Teorema 2 concluímos que lim senx = 0. x →+∞ x x →+∞ x

Como lim

Exemplo 5.

Aplicando o teorema do confronto, calcular