Calculo

´ MINISTERIO DA EDUCACAO ¸˜ ´ SECRETARIA DA EDUCACAO PROFISSIONAL E TECNOLOGICA ¸˜ ˆ INSTITUTO FEDERAL DE EDUCACAO, CIENCIA E TECNOLOGIA ¸˜ DE SANTA CATARINA ´ CAMPUS: ARARANGUA - LICENCIATURA EM F´ ISICA Disciplina: C´lculo III a Semestre: 2012-1 Professor: Mateus Medeiros Teixeira

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Data: 18 / 07 / 2012

Prova de Recupera¸˜o ca 1. Dados os vetores u = (2, −3) e v = (−2, 1), determinar o vetor w tal que a) 4(u − v) + 1 w = 2u − w 3 2. Para quais valores de k ∈ R o conjunto {(1, k), (k, 4)} ´ LI? e 3. Os pontos (2, 3), (3, 1) e (9, y) s˜o v´rtices consecutivos de uma retˆngulo. Determine o quarto a e a v´rtice e a ´rea do paralelogramo. e a 4. Sejam E = {u1 , u2 , u3 } e F = {v 1 , v 2 , v 3 } bases no conjunto V = R3 e tais que v 1 = 3u1 − 2u2 , v 2 = u1 − 3u2 + 4u3 , v 3 = 2u1 + u3 . Calcule as coordenadas de w = (1, 2, 1)F na base E. 5. Considere o triˆngulo de v´rtices A(2, 1), B(5, 2) e C(4, 3). Determine a altura relativa a base AB a e e a area do triˆngulo ´ a
ABC .

6. Dados os vetores u = (3, −4), v = (− 9 , 3), verificar se existem n´meros x e y tais que u = xv e u 4 v = yu. 7. O vetor a ´ ortogonal aos vetores u = (2, −1, 3) e v = (1, 0, −2) e forma um angulo agudo com o e ˆ √ vetor j. Calcular as coordenadas de a sabendo que ||a|| = 2 5. 8. Dados os vetores u = (k, 5, 0), v = (3, −2, 1) e w = (1, 1, −1), calcular o valor de k para que o volume do paralelep´ ıpedo determinado por u, v e w seja 24 unidades de volume. 9. De um v´rtice de um cubo, tra¸am-se uma diagonal do cubo e uma diagonal da face. e c a) Calcular o angulo entre as duas diagonais. ˆ b) Calcular a area do triˆngulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo ´ a 10. Considere o tetraedro delimitado pelos planos xy, xz, yz e o plano que cont´m os pontos A(3, 0, 0), e B(0, 2, 0) e C(0, 0, 4). Calcule: a) O volume do tetraedro; b) A area da superf´ ´ ıcie; c) A soma dos comprimentos das arestas.

11. Em R3 , determine um conjunto ortonormal composto por trˆs vetores,