Calculo

Vimos, na aula anterior, que a integral definida [pic] representa a área sob a curva, conforme mostra o gráfico abaixo.

Tal área é obtida pela divisão do intervalo [1, 7] em um número finito de partes, calculando-se a [pic]das áreas desses retângulos inferiores + superiores e dividindo-se o resultado por 2; atribuindo-se a média aritmética como resultado.

Também vimos que esse processo era para f(x) positiva e que o resultado foi aproximado.
Pois bem, vejamos como obter [pic] e quando isso é possível.

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

Se existe uma função [pic] para a qual f(x) é sua derivada, então a integral de f(x) é [pic] e o valor de: [pic]

EXEMPLO 1: [pic]

Resolução: A função a ser integrada é [pic] e esse [pic] é a derivada de [pic]. Portanto, escrevemos:
[pic]

EXEMPLO 2: [pic]

Resolução: Primeiro calculamos [pic] sem nos preocupar com os limites de integração 1 e 4.

[pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] (
[pic]

EXEMPLO 3: Calcule a integral [pic].

Resolução: [pic]

EXEMPLO 4: Ache a área entre a reta [pic] e o eixo x no intervalo [-1, 6].

Resolução: Observe que esse exercício é diferente do anterior.
A área pedida é a soma das áreas dos triângulos.
Isto é:
[pic]

Ou ainda:
[pic]

considerando em módulo, temos [pic] u.a.

[pic]

[pic] u.a.

EXEMPLO 5: [pic]

Resolução: [pic]
[pic]
[pic]

Encontrando a área entre [pic]e o eixo x em [1, 2], temos:

Como a função é positiva em [1, 2], a área coincide com o valor da integral.

[pic]

EXERCÍCIO 1: Ache a área entre cada curva dada e o eixo x, entre as retas verticais dadas:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]
d) [pic]

EXERCÍCIO 2: Resolva as integrais definidas:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]
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