calculo numérico

Calculo numérico
Interpolação
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), sendo g(x) escolhida entre uma classe de funções definidas a priori que satisfaçam algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x). A necessidade de utilizar essa técnica pode acontecer, quando for preciso calcular o valor de uma função em um ponto não determinado ou para solucionar expressões de diferenciação e integração, sendo que neste caso, podemos procurar outra função que seja uma aproximação da função dada e cujo manuseio seja bem mais simples. As funções que substituem as funções dadas podem ser de tipos variados, tais como: polinomiais; trigonométricas; exponenciais e logarítmicas.
Seja y=f(x) uma função conhecida por n+1 pontos isolados (xi,yi), i = 0,1,2,. . . , n. Temos que estimar um valor para f(x) para qualquer x que esta no intervalo (x0, xn). Caso seja utilizado um polinômio então teremos uma interpolação polinomial.
Interpolação Polinomial de Lagrange Interpolação de Lagrange foi desenvolvida por Joseph L. Lagrange. Consiste em determinar os coeficientes do polinômio. Para isso resolve-se um sistema linear de (n + 1) equações é igual ao número de incógnitas. Caso este sistema seja determinado o problema esta resolvido.
Determinamos o polinômio de grau n que passa por (n +1) pontos (xi, yi). Para cada um dos pontos xi é fácil construir um polinômio pi tal que pi(xi) = yi e pi(xj) = 0 para todo j ≠ i . Esse polinômio será da forma , j ≠ i onde a constante A é determinada pela condição pi(xi) = yi .

O polinômio será o polinômio que procuramos. Os pontos usados nessa construção são chamados de nós.

Regra do Trapézio
- Regra do Trapézio Simples
O objetivo da Regra do trapézio é aproximar a função f(x) por um polinômio de ordem um. Nessa aproximação a integral da função f(x) pode ser aproximada pela área do trapézio.
Se usarmos a formula de Lagrange para