Calculo numerico

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

CÁLCULO NUMÉRICO

PROF.: PATRÍCIA TAVARES

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EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E TRANSCENDENTES

1. Introdução

Nas diversas áreas das ciências exatas ocorrem situações que envolvem a resolução de equações do tipo [pic]. Nosso objetivo será determinar as raízes reais de [pic], ou seja, determinar [pic] tal que [pic]. O valor de [pic] pode ser real ou complexo.

[pic]

Para se calcular uma raiz duas etapas devem ser seguidas: Etapa I: Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [pic], o menor possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação [pic]. Etapa II: Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.

2. Isolamento de raízes (etapa I)

Nesta etapa é feita uma análise teórica e gráfica da função [pic]. É importante ressaltar que o sucesso da etapa II depende fortemente da precisão desta análise. Na analise teórica usamos frequentemente o teorema:

Teorema 1: Seja [pic] uma função contínua num intervalo [pic]. Se [pic] então existe pelo menos um ponto [pic] entre [pic] e [pic] que é zero de [pic].

[pic]

A raiz [pic] será definida e única se a derivada [pic] existir e preservar o sinal dentro do intervalo [pic]. Graficamente: [pic]

Uma forma de se isolar as raízes de [pic] usando resultados anteriores é tabelar [pic] para vários valores de [pic] e analisar as mudanças de sinal de [pic] e o sinal da derivada nos intervalos em que [pic] mudou de sinal.

Exercício 1

a) [pic]
|[pic] | |
|[pic] | |