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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ
SOLUÇÃO DE SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES MÉTODOS DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS E FATORAÇÃO LU

Fernando Marques Vieira Rosa |
ferdinmarquesrosa@hotmail.com |
Universidade Estácio de Sá curso Engenharia de Produçao Nova Friburgo, RJ Brasil |
Resumo
Apresentação e explicação passo a passo dos métodos de Eliminação de Gauss e fatoração LU,(por Gauss e Doolitle), para asolução de sistemas de equações lineares.
Palavras- chave: Eliminação de Gauss, Solução de Sistemas lineares, fatoração LU.

1. Introdução
Um sistema linear consiste em um conjunto de equações com um conjunto de incógnitas ou variáveis. As variáveis são apresentadas multiplicadas por um coeficiente. O termo variável coeficiente aparece somado a outros termos do mesmo tipo. Por exemplo osseguintes sistemas abaixo não são lineares.
x2+2y=0
x-y=0
xy=1
x+y=2
Uma equação linear é aquela que só apresenta termos que são proporcionais às variáveis (termos do tipo axi,xi), isto é, não apresenta nenhuma função aplicada a varivável xi, como xn ,lnx , cos x.
Um sistema linear quadrado é aquele em que o número de variáveis é igual ao número de equações (m=n). Portanto, um sistema linearquadrado pode ser escrito na forma:
a11*x1+a12**x2+...a1n.xn=b1
a21*x1+a22**x2+...a2n.xn=b2
an1*x1+an2**x2+...a3n.xn=b3
e é representado na forma matricial por:
a11a12a1na21a22a2n.........a32a32a3nx1x2...x3=b1b2...bn

Resolver um sistema linear significa encontras os valores numéricos das variáveis x1, x2, x3,... xn , que satisfazem tosas as equações do sistema.
Sistemas de equaçõeslineares aparecem com bastante freqüência na resolução de problemas práticos envolvendo as mais variadas situações. Estima-se que 75% dos problemas científicos envolvem a resolução de um sistema de equações lineares.
A classificação de um sistema linear é feita em funão do número de soluções que ele admite.
Sistema possível ou consistente: é todo sistema que possui pelo menos uma solução. Um sistemalinear é possível ser determinado, se admite uma única solução; indeterminado, se admite mais de uma solução.
Sistema impossível ou inconsistente, é todo sistema que não admite solução.
Os métodos usados na resolução de sistemas lineares podem ser de dois tipos: diretos ou iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a solução exata do sistema linearcaso ela exista. Métodos iterativos são resolvidos a partir de uma estimativa inicial, repetimos determinado cálculo diversas vezes utilizando sempre a estimativa da etapa anterior como estimativa para a etapa seguinte.
2. Resolução de Sistemas
Método de eliminação de Gauss(métodos diretos
Obter uma solução exata de um sistema de equações lineares da forma AX=B.Onde A é uma matriz quadra deondem n, X e B são vetores coluna de orden nX1.
2.1. O método consiste em utilizar um número finito de transformações elementares e considerar elementos da diagonal principal(não nulos) chamados pivôs.
2.2 Se por exemplo, au≠0, a linhado pivô é mantida e os outros elementos da i-ésima coluna ficam zerados.
2.3 O processo repete-se escolhendo novos pivôs (não nulos) que não figurem na linha nemna coluna anteriores.
2.4 o processo termina quando já não é possível tomar novos pivôs.
2.5 Depois,inicia-se o processo de substituição para cima.

RESOLVENDO UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES

2x+y+z=74x+4y+3z=216x+7y+4z=32

Reescrever o sistema na forma de matriz aumentada:
211443674 72132
Como a11≠0 este elemento será os nossos pivôs. Definem-se :
m1 = a21/ a11⟺42=2
m2 = a31/a11⟺62=3
Então calculam-se os outros elementos transformados da segunda linha segundo a regra:
a21=a21-m1*a11=4-2.2=0
a22=a22-m1*a12=4-2.1=2
a23=a23-m1*a13=3-2.1=1
a24=a24-m1*a14=21-2.7=7

211021674 7732

Determinam-se outros elementos transformados da terceira linha:

a31=a31-m2*a11=6-3.2=0
a32=a32-m2*a12=7-3.1=4
a33=a33-m2*a13=4-3.1=1
a34=a34-m2*a14=32-3.7=11
nova matriz...
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