Calculo numerico

Universidade Estadual do Norte Fluminense
CCT - Engenharia de Exploração e Produção de Petróleo

Dominique S. Godinho da Rocha

Atividade Número 2- Cálculo Numérico

Campos dos Goytacazes – RJ
24 de outubro 2013
1) Estude a convergência do método de Newton para o problema sin(3x)+0,2x²=0, em torno da solução próxima de -1 e 1. Refaça o problema com o método da secante. Empregue ER=10⁻⁶.
Resposta:
Método de Newton:
Xk+1=xk-(f(x)/f’(x))
F(x)=sin(3x)+0,2x²=0
F’(x)=3cos(3x)+0,4x
i xk f(xk) f’(xk) xk+1
1
-1,1
0,399745694
-3,40243931
-0,982512028
2
-0,982512028
2,250783704x10⁻⁴
-3,336694926
-0,982444572
3
-0,982444572
4,860 x10⁻⁹
-3,336550809

Como o f(xk) é menor do que o erro na iteração 3, a função converge em x=-0,982444572.

Método da Secante:
X(k+1)= xk-((xk-x(k-1)).f(xk))/(f(xk)-f(x(k-1))) i xk
Xk- x(k-1)
F(xk)
F(x(k-1))
X(k+1)
1
-1,1
-0,4
0,39974569
-0,765209366
-0,96274296
2
-0,96274296
0,13725703
-0,065286954
0,399745694
-0,982012775
3
-0,982012775
-0,01926981
-1,33651053.10⁻³
-0,06528695
-0,982415497
4
-0,982415497
-4,02722.10⁻⁴
-9,70032991.10⁻⁵
-1,44050988.10⁻³
-0,982444574
5
-0,982444574
-2,9077.10⁻⁵
9,8108207.10⁻⁹
-9,70032991. 10⁻⁵
-0,982444571

A raiz será x=-0,982444574.

3) Resolva o sistema linear em que:

(a) Por Gauss-Jordam l1 l2 l1x(-1) l2-2l1 l3-4l1 l3-l2 l2l3 l1+l2 l3-4l2 l3/-21 l2-8l3 e l1-3l3 Logo, a solução do sistema será:
X1= -3/7
X2=32/21
X3=-4/21

(b) Por Gauss-Seidel

X₀=
X₁(n+1)=1/4(0-X₂ⁿ+X₃ⁿ)
X₂(n+1)=1/2(2-2X₁ⁿ⁺¹-X₃ⁿ)
X₃(n+1)=1/5(1+X₁ⁿ⁺¹-X₂ⁿ⁺¹)

Para n=0
X₁(1)=1/4(0-X₂ⁿ+X₃ⁿ)= 0
X₂(n+1)=1/2(2-2X₁ⁿ⁺¹-X₃ⁿ) = 1 X¹=
X₃(n+1)=1/5(1+X₁ⁿ⁺¹-X₂ⁿ⁺¹)= 0
|X₁¹-X₁⁰|= 0
|X₂¹-X₂⁰|=1 dr(1)=1/1= 1
|X₃¹-X₃⁰|=0

Para n=1
X₁(2)=1/4(0-X₂ⁿ+X₃ⁿ)= -1/4
X₂(2)=1/2(2-2X₁ⁿ⁺¹-X₃ⁿ) = 5/4