Calculo numerico

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TRABALHO 1

Encontrar um problema (juntamente com a resolução) de aplicação em Engenharia, física ou áreas afins envolvendo os seguintes temas:

1) Sistemas Lineares:

Uma empresa possui 3 tipos de tanques de armazenamento representados por (1), (2) e (3) os quais são equipados para confinar 3 tipos diferentes de efluentes contaminantes de acordo com a tabela:

| A | B | C |
1 (x) |60 | 10 | 10 |
2 (y) | 10 | 20 | 10 |
3 (z) | 20 | 10 | 20 |

Por exemplo, o tanque (1) pode levar 60 L do efluente tipo A, 10 L tipo B e 10 L tipo C. Quantos tanques de cada tipo deve-se ter para armazenar 160 L do efluente tipo A, 70 L do efluente tipo B e 60 L do efluente tipo C?

Resolução:

Utilizando o método de Gauss tem-se:

60x+10y+20z=16010x+20y+10z=7010x+10y+20z=60601020102010101020⋮1607060 L3 → L3 – 16L1 e L2 → L2 – 16L1 601020018,336,6608,3316,66⋮16043,3333,33

L3 → L3 – 8,3318,33L2 601020018,336,660013,63⋮16043,3313,64
Tem-se então

60x+10y+20z=1600x+18,33y+6,66z=43,330x+0y+13,63z=13,64

13,63z=13,64 →z=1

18,33y+6,66.1=43,33→y=43,33-6,6618,33=2

60x+10.2+20.1=160 →x=12060=2

Solução do sistema: 221

Logo, para armazenar adequadamenteo efluente, seria necessário 2 tanques do tipo 1, 2 do tipo 2 e 1 do tipo 3.

2) Zero de funções:

Uma bola é arremessada para cima com velocidade v0=30m/s a partir de uma altura x0=5m em um local onde a aceleração da gravidade é g=-9,81m/s2. Sabendo que:
ht=x0+v0t+12gt2
a) Utilizando o método das secantes, calcule as 2 primeiras iterações para o valor do tempo gasto para bola atingir osolo (h(t)=0) adotando como chutes iniciais t0=5 e t1=7.
b) Quantas iterações deveríamos fazer para encontrar a resposta do item a (raiz da função h(t)) com uma precisão de cálculo de ε=10-9 utilizando o método da bisseção e os valores 5 e 7 como sendo intervalo inicial?

Resolução:

a)
fx=5+30x-4,905x2
x0=5
x1=7
x2=x0fx1- x1f(x0)fx1-f(x0)=+6,12

x3=x1fx2- x2f(x1)fx2-f(x1)=+6,26Substituindo os pontos na função f(x)

fx0=f5=+32,375
fx1=f7=-25,345
fx2=f6,12=+4,886

b) k>logb0-a0- logεlog2

com b0=7, a0=5 e ε=10-9

k=9,30,3=31

Tem-se que fazer no mínimo 31 iterações com o método da bisseção para atingir a precisão de 10-9.

3) Interpolação:

Após verificar o início do vazamento de um tanque de armazenamento de gasolina de um posto de combustível, umEngenheiro Ambiental começou a aferir o raio de alcance da pluma contaminada (massa contaminada em movimento em aquíferos) em função dos dias, como mostra a tabela:

x (dias) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
y (m) | 0 | 0,3 | 5 | 22 | 32 | 55 | 71 | 133 | 169 | 270 | 305 |

Considerando os pontos em x=0, x=5 e x=10, ajuste um polinômio.
Em quantos dias, supostamente, a plumaalcançaria um raio de 2 Km?

Resolução:

P2x=fx0+fx0,x1.x-x0+fx0,x1,x2.x-x0.(x-x1)

x0=0 →fx0= 0

x1=5 →fx1=55

x2=10 →fx2= 305

fx0=fx0= 0

fx0, x1=fx1-f(x0)x1-x0=55-05-0=11

fx1, x2=fx2-f(x1)x2-x1=305-5510-5=50

fx0, x1,x2=fx1,x2-fx0,x1x2-x0=50-1110-0=3,9
Logo,

P2x=11x-0+3,9x-0x-5
=11x+3,9x2-19,5x

P2x=-8,5x+3,9x2
O raio de 2 Km seria alcançado em

2000=-8,5x+3,9x23,9x2-8,5x-2000=0

x=23,8 ou x=-21,58

O valor negativo é desconsiderado e a pluma terá contaminado um raio de 2 Km em, aproximadamente, 24 dias.

TRABALHO 2

Integração Numérica

Designa-se de um modo geral por integração numérica o processo de obter valores aproximados para

em que f é uma função integrável no intervalo finito .

A necessidade de ter de recorrer a métodosaproximados para calcular provém normalmente de uma das seguintes situações:
1) A expressão analítica de f não é conhecida. É o que acontece quando esta função é dada por tabelas ou obtida por medições de grandezas físicas;
2) A expressão analítica de f é conhecida mas a primitiva desta função não, e portanto a forma usual de determinação do integral não é viável.

A chave para a...
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