Calculo numerico, execicios

1o EE de Cálculo Numérico – 2007.1

1o) Considere a máquina F ( 10; 3; -9; 9 ). Nela calcule o valor de Q = ( a – b ) 2 , com a = 3,75 e b = 3,74 , de dois modos:

a) Q = a 2 – 2 a b + b 2; = 1,00 x 10 – 1.

b) Q = a 2 + ( - 2 a + b ) x b ; = 0,00 x 10 - 9

c) Comente os resultados dos itens anteriores.
Os arredondamentos e a consequente não validade da propriedade distributiva levam a resultados distintos. Valor verdadeiro Q = 1,00 x 10 – 4.

d) Na máquina dada acima, considere a definição geral de arredondamento. Os erros máximo e mínimo cometidos são os mesmos que os do arredondamento padrão? ( 3,0 pontos )
Não. O erro mínimo em quaisquer arredondamento vale 0 ( se a  F, ā = a ). Já para o erro máximo, no caso da definição de arredondamento, podemos ter | a – ā | < b e – t + 1 “gap”. Logo, na máquina | a – ā | < 10 9 – 3 + 1 = 10 7. No padrão | a – ā |  ½

2o) Localize graficamente, se existir, a raiz real positiva mais próxima da origem, da função: f ( x ) = 4 cos ( x ) – sen ( 3 x ) + 2 .

A seguir, analiticamente, determine um intervalo de amplitude 0,1 contendo tal raiz. A partir dos extremos deste intervalo use o método de Newton para calculá-la.
Faça iterações até que x n + 1 - x n   10 – 3 .
Caso essa condição não seja satisfeita até n = 2, pare. Considere 4 decimais e o arredondamento padrão.
( 4,0 pontos )

Pelo gráfico, conclui-se que a raiz pedida, da função f(x) = 4 cos (x) – sen (3x) + 2 deve estar no intervalo I = [2,0; 2,1]. Analiticamente, Teo. Bolzano:
a) A função é contínua em I;
b) f (2,0) x f (2,1) = 0,615 x (- 0,036) < 0; Por outro lado,
c) f ’ (x) = - 4 sen ( x) – 3 cos ( 3x) < 0 , x  I .

Usando o método de Newton com x 0 = 2,05 , temos: i x i
0 2,05 ;
1 2,0942;
2 2,0944 . Critério de parada: x i + 1 - x i   10 – 3 .

3o ) Considere o sistema de equações lineares:

3 x1 + 2 x2 – 6 x3 = 11,5

8 x1 - 10 x2 + x3 = 3,5

7 x1 + 2 x2