calculo funcional

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CALCULO
FUNCIONAL DE MATRIZES
Equipe de C´alculo IV do Departamento de Matem´atica
24 de Setembro de 2009
Vamos resolver os problemas discreto e cont´ınuo un+1 = Aun , u0 dado

v (t) = Av(t), v(0) dado

onde A ´e uma matriz d × d fixa e u e v s˜ao vetores com d coordenadas. Abstratamente, pelo menos, as solu¸co˜es s˜ao f´aceis de escrever: un = An u0 e v(t) = etA v(0)
(confira!). Queremos agora mostrar receitas para calcular fun¸c˜oes f (A) de uma matriz A (os exemplos que nos interessam s˜ao f (x) = xn e f (x) = etx ).
Receita: Calcule os autovalores λ1 , λ2 , . . . , λk de A, (isto ´e, as solu¸co˜es de det(A − λI) = 0) junto com as multiplicidades m1 , m2 , . . . , mk . Agora, vocˆe deve procurar um polinˆomio p tal que p(λ1 ) = f (λ1 ), p (λ1 ) = f (λ1 ), . . . , p(m1 −1) (λ1 ) = f (m1 −1) (λ1 ),
..
. p(λk ) = f (λk ), p (λk ) = f (λk ), . . . , p(mk −1) (λk ) = f (mk −1) (λk ).
A matriz procurada, f (A), ´e simplesmente p(A).
Exemplo: Se


3 −4 −1
1 ,
A =  −3 5
21 −32 −7 λ1 = 1, m1 = 1, λ2 = 0, m2 = 2.
Para calcular etA , basta obter p tal que p(1) = et1 , p(0) = et·0 , p (0) = tet·0 .
Para satisfazer trˆes pedidos, um polinˆomio de grau dois, ax2 + bx + c, ´e suficiente.
De fato, fa¸ca c = 1, b = t, a = et − t − 1. Moral: etA = (et − t − 1)A2 + tA + 1 · I.

1

1o Atalho: Se a matriz for diagonaliz´avel, calcule os autovalores λ1 , λ2 , . . . , λk e procure um polinˆomio p tal que p(λ1 ) = f (λ1 ), . . . , p(λk ) = f (λk )
De novo f (A) = p(A).
Ali´as, matrizes sim´etricas s˜ao diagonaliz´aveis, assim como matrizes com todos seus autovalores diferentes entre si.
Exemplo: Se


2 2 3
A =  2 5 6 ,
3 6 10 seus autovalores s˜ao 1 e 15 (confira: qual ´e o autovalor duplo?). Como A ´e sim´etrica, ´e diagonaliz´avel. Para calcular A1000 , procure um polinˆomio levando 1 a 11000 = 1 e 15 a 151000 . Uma mera reta faz isto: p(x) = e 151000 − 1
15 − 151000 x+ .
14
14


A1000


2α + β
2α
3α