Calculo 3

Disponível somente no TrabalhosFeitos
  • Páginas : 7 (1724 palavras )
  • Download(s) : 0
  • Publicado : 10 de novembro de 2012
Ler documento completo
Amostra do texto
Introdução:

Este trabalho aborda uma introdução às equações lineares de segunda ordem, definindo-as e lembrando sua importância no estudo do cálculo. Discute sobre os problemas de valores inicias e de contorno e o que difere um do outro. Por fim, define equações lineares não homogêneas e o método dos coeficientes indeterminados.

Equações Lineares de 2ª Ordem:

Equações diferenciais surgemem muitas áreas da ciência e tecnologia. Elas nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. Isto é ilustrado na mecânica clássica, onde o movimento de um corpo é descrita por sua posição e velocidade, como o valor de tempo varia.
As principais quantidades usadas ​​para descrever o movimento de um objecto são posição(s), da velocidade(v), e aceleração (a). Umavez que a velocidade é o tempo derivado da posição, e a aceleração é a derivada do tempo da velocidade, a aceleração é a derivada do tempo da segunda posição. Portanto, a posição da função s(t) para um objecto em movimento pode ser determinada pela escrita Segunda Lei de Newton.
F=m.a
Logo, a 2ª lei de Newton é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem:
F(r,t)=md²rdt²Equações diferenciais lineares são equações diferenciais que têm soluções que podem ser adicionadas em conjunto para formar outras soluções. Eles podem ser simples ou parciais. As soluções para as equações lineares formam um espaço vectorial (não é o caso com as equações não-lineares diferenciais).
Uma equação diferencial de segunda ordem apresenta a forma geral:
d²y(x)dx²=f(x,y, dydx)
É linear sepuder ser escrita como:
Pxy''+Fxy'+Gxy=R(x)
Onde P(x)≠0. Se P(x)=0 a equação não teria o segundo termo derivavel, logo, não seria de segunda ordem. Se P(x)≠0 então ambos os lados da equação podem ser divididos por P(x) e o resultado da equação poderá ser escrito da seguinte forma:
y''+f(x)y'+g(x)y=r(x)
Onde:
f(x)=F(x)P(x),g(x)=G(x)P(x),r(x)=R(x)P(x)

No caso de ser uma equação homogênea,r(x)=0, então
y''+f(x)y'+g(x)y=0
Exemplo 1:
Resolva a equação: y''-y=0
Temos neste caso a = 1, b = 0 e c = - 1.
Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma. Identificamos que servem:
y1t= et e y2 t= e-t e c1 y1 t= c1 et e c2y2(t) = c2 e-t
E mais y=c1y1t+ c2y2t=c1et+c2e-t, para c1 e c2 quaisquer.
A equação ay''+by'+cy=0 pode serescrita na forma algébrica
ar²+bt+c=0 fazendo y''=r², y'=r e y=1=r0
Esta equação é chamada de equação característica. O fato é que se r é raiz da equação polinomial ar²+bt+c=0, então y=ert é solução da equação diferencial ay''+by'+cy=0.
Supondo que r1 e r2 são raízes distintas de ar²+bt+c=0, então y1t=er1t e y2t=er2t são duas soluções da equação diferencial ou como no exemplo anterior,y=c1y1t+c2y2t=c1er1t+c2er2t que também é solução da equação dada.
Problemas de Valor Inicial.

Em matemática, no campo de equações diferenciais, um problema de valor inicial é uma equação diferencial em conjunto com um valor especificado, chamado condição inicial, de função desconhecida em um determinado ponto no domínio da solução. Na física ou em outras ciências, a modelagem de um sistemafreqüentemente equivale a resolver um problema de valor inicial, neste contexto, a equação diferencial é uma equação de evolução especifica de como o sistema vai evoluir com o tempo, dadas as condições iniciais.

Um problema de valor inicial é uma equação diferencial
y't=ft,yt com f:Ω ⊂R x Rn →Rn
onde Ω é conjunto aberto junto com um ponto do domínio de ƒ
t0,y0∈ Ω
chamado condiçãoinicial.

Uma solução a um problema de valor inicial é uma função y que é uma solução para a equação diferencial e satisfaz:
yt0=y0
Esta delcaração subsume problemas de ordem superior, ao interpretar y como um vetor. No caso dos derivados de seguda ordem ou superior, novas variáveis (elementos do vetor y) são introduzidos
Geralmente, a função desconhecida y pode assumir valores em espaços de...
tracking img