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As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m \times n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2 \times 3 com elementos naturais.
Uma matriz A^{-1} é dita inversa de uma matriz A, se obedece às equações matriciais A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I, ou seja, se o produto entre as matrizes é a matriz identidade.2 A analogia com os números reais é evidente, pois assim como o produto entre dois números inversos é a unidade (elemento neutro da multiplicação), o produto entre duas matrizes inversas é a matriz identidade (elemento neutro da multiplicação entre matrizes). Uma matriz que possui inversa é dita inversível.

A condição necessária e suficiente para que uma matriz quadrada seja inversível é possuir um determinante não nulo, sendo que para uma dada matriz A, a matriz inversa é única. A necessidade de possuir determinante não nulo é evidente na equação \mathbf{A}^{-1} = \det(\mathbf{A})^{-1} \cdot \mbox{adj}(\mathbf{A}), pois nela o determinante da matriz original é denominador de uma fração.
A matriz transposta de uma matriz A_{m \times n} é a matriz A^\intercal_{n \times m} em que a^\intercal_{ij} = a_{ji}, ou seja, todos os elementos da primeira linha, tornar-se-ão elementos da primeira coluna, todos os elementos da segunda linha, tornar-se-ão elementos da segunda coluna, todos os elementos da linha n, tornar-se-ão elementos da coluna n. Exemplo: A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, A^\intercal = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}.
A classificação de uma matriz em positiva ou negativa definida ou semi-definida é similar à classificação dos números reais em positivos ou negativos.

Seja M uma matriz quadrada de dimensão n \times n e z um vetor não nulo (ou seja, que tenha pelo menos um elemento diferente