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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Matemática Computacional
Colectânea de Exercícios
• • • • Propostas de resolução Conceitos fundamentais Algoritmos básicos Gráficos ilustrativos

Leonel Fernandes Miguel Matos Neves Virgínia Infante José Viriato

Licenciaturas em Engenharia Mecânica, Engenharia Aeroespacial e Engenharia e Arquitectura Naval - Ano Lectivo 2007/08

ÍNDICETERMINOLOGIA 2 2.1 2.2 2.3 2.4 NÚMEROS INTEIROS: Conversão da base b para a base 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NÚMEROS INTEIROS: Conversão da base b1 para a base b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NÚMEROS REAIS: Conversão da base 10 para a base b < 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . NÚMEROS REAIS: Conversão da base b1 para a base b2 (b1 = 10, b2 = 10 e ambas 2) . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . NÚMEROS REAIS: Conversão da base 10 para base b > 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . SISTEMAS DE PONTO FLUTUANTE: Erros de representação, Unidade de arredondamento, Overflow e Underflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 1 2 3

4 6

2.5 2.6

7 11

3 3.1 3.2 3.3 ARITMÉTICA EM SISTEMAS FP: Cancelamento subtractivo . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . FORMATO SIMPLES IEEE 754: Erros de representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . FORMATO SIMPLES IEEE 754: Erros de representação e Operações 0/0 e 1/0 . . . . . . . . . . . . . . 4 4.1 4.2 4.3 4.4 CONDICIONAMENTO DE UMA FUNÇÃO . . . . . . . . . . . . . . CONDICIONAMENTO DE UMA FUNÇÃO E CANCELAMENTO SUBTRACTIVO . . . . . . . . . . . . . . . .. . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Formas de Lagrange e Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Algoritmo de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 14 17 19 19 20 22 24 27

5 5.1 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Máximos e mínimos locais, Pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . .

27

ii 5.2 5.3

ÍNDICE INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL:Interpolação de Hermite, Nós duplos e diferença dividida confluente . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Interpolação de Hermite, Nós triplos e diferença dividida confluente . .

31 33 35

6 6.1 6.2 6.3 INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Spline quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Spline cúbico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL: Erros em splines cúbicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 37 41 43

7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA: Diferenças finitas de primeira e segunda ordens . . . . . . . . . . . . . DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA: Majorante do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA: Espaçamento óptimo . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA: Ponto de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA: Espaçamento desigual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43 45 47 49 54 57

8 8.1 8.2 8.3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Regras do trapézio simples e de Simpson simples e composta . . . . . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Regra deGauss-Legendre e de Gauss-Legendre-Lobatto . . . . . . . . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Regras de Gauss-Legendre e do trapézio composta . . . . . . . . . . .

57 60 61 65

9 9.1 9.2 9.3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Dedução e grau de regras de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Regra do trapézio corrigida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . INTEGRAÇÃO NUMÉRICA: Regra deSimpson adaptativa iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65 66 68 75

10 10.1 DETERMINAÇÃO DE ZEROS DE EQUAÇÕES NÃO-LINEARES: Métodos da Bissecção, Falsa Posição e Secante . . . . . . . . . . . . . 10.2 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES: Método da Bissecção e zeros múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 79

ÍNDICE 10.3 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES: Método da Falsa Posição . . . . . . . . . ....
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