binomio newton

Páginas: 6 (1384 palavras) Publicado: 6 de maio de 2015
Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet 
Acesse Agora !   ​
www.vestibular1.com.br 
 
 
 

Binômio de Newton 
n​
Denomina­se Binômio de Newton , a todo binômio da forma (a + b)​
 , sendo n um 
número natural .  
 
Exemplo:  
4​
B = (3x ­ 2y)​
 ( onde a = 3x, b = ­2y e n = 4 [grau do binômio] ). 

Nota 1: 
Isaac Newton ­ físico e matemático inglês(1642 ­ 1727).  Suas contribuições à Matemática, estão reunidas na monumental obra Principia 
Mathematica, escrita em 1687.  
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton : 
2​
2​

a) (a + b)​
 = a​
 + 2ab + b​
3​
3​
2​
2​

b) (a + b)​
 = a​
 + 3 a​
b + 3ab​
 + b​
4​
4​
3​
2​2​
3​
4
c) (a + b)​
 = a​
 + 4 a​
b + 6 a​
b​
 + 4ab​
 + b​
  
5​
5​
4​
3​2​
2​3​
4​

d) (a + b)​
 = a​
 + 5 a​
b + 10 a​
b​
 + 10 a​
b​ + 5ab​
 + b​
Nota 2: 
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas possuem uma lei de 
formação bem definida, senão vejamos: 
 
Vamos tomar por exemplo, o item (d) acima: 
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são iguais ao expoente do 
binômio,  
ou seja, igual a ​
5​
.  
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos a partir da seguinte regra prática de fácil memorização: 
Multiplicamos o coeficiente de ​
a​
 pelo seu expoente e dividimos o resultado pela 
ordem do termo. O resultado será o coeficiente do próximo termo. Assim por 
exemplo, para obter o coeficiente do terceiro termo do item (d) acima teríamos: 5.4 
= 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2 por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do terceiro termo procurado. 
 
Observe que os expoentes da variável ​
a​
 decrescem de n até 0 e os expoentes de 
3​2​
b​
 crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é 10 a​
b​
 (observe que o expoente 
de ​
a​
 decresceu de 4 para 3 e o de ​
b​
 cresceu  de 1 para 2). 
7
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio de Newton (a + b)​
 
será: 
7​
7​
6​
5​2​
4​3​
3​4​
2​5​
6​

(a + b)​
 = a​
 + 7 a​b + 21 a​
b​
 + 35 a​
b​
 + 35 a​
b​
 + 21 a​
b​
 + 7 ab​
 + b​
2​5​
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21 a​
b​
) ​

 

Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet 
Acesse Agora !   ​
www.vestibular1.com.br 
 
 
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos 35 pelo expoente de 
a ​
que é igual a 3 e dividimos o resultado pela ordem do termo que é 5.  Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior) vem 105:5 = 21, 
que é o coeficiente do sexto termo, conforme se vê acima. 
Observações: 
n​
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)​
 é um polinômio. 
n​
2) o desenvolvimento de (a + b)​
 possui n + 1 termos . 
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no desenvolvimento de 
n​
(a + b)​
 são iguais . 
n​
n​4) a soma dos coeficientes de (a + b)​
 é igual a 2​
 . 
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton 
n​
Um termo genérico T​
 do desenvolvimento de (a+b)​
 , sendo p um número 
p+1​
natural, é dado por  

 
onde 

 
é denominado Número Binomial e ​
C​
é o número de combinações simples de​
 n 
n.p​
 ​
elementos, agrupados ​
p​
 a​
 p​
, ou seja, o número de combinações simples de ​
n elementos de taxa ​
p​
. Este número é também conhecido como Número 
Combinatório. 
Reveja o capítulo de Análise Combinatória, clicando ​
AQUI​

Exercícios Resolvidos: 
9​
1 ­ Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)​
 , desenvolvido segundo as potências 
decrescentes de x. 

Solução: 
 
n​
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)​
 , onde a = 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p = 6 na fórmula do termo geral e 
efetuamos os cálculos indicados. Temos então: 
9­6​
6​
3​
3​
T​
 = T​
 = C​
 . (2x)​
 . (1)​
 = 9! /[(9­6)! . 6!] . (2x)​
 . 1 = 9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x​
 = 
6+1​
7​
9,6​
3​
3​
84.8x​
 = 672x​

3​
Portanto o sétimo termo procurado é 672x​

8​
2 ­ Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)​
 ? 

Solução: 
 ...
Ler documento completo

Por favor, assinar para o acesso.

Estes textos também podem ser interessantes

  • Binomio de newton
  • Binômio de newton
  • binomio de newton
  • Binomio de newton
  • Binômio de Newton
  • Binômio de Newton
  • binômio de newton
  • binomio de newton

Seja um membro do Trabalhos Feitos

CADASTRE-SE AGORA!