binômio de newton

MATEMÁTICA

PROFESSOR CARLOS CLEY

NÚMEROS BINOMIAIS

Propriedade (Relação de Stifel)

Número binomial é todo número da forma:
n
 =
p
 

A soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma.

n!
, (n, p ∈ N e 0 ≤ p ≤ n). p!(n − p)!

n é o numerador e p é o denominador do binomial.

 n   n   n + 1
 +
 p   p + 1 =  p + 1
 

  
 


7
7!
7.6.5.4!
7!
Ex:   =
=
=
= 35
 3  3!(7 − 3)! 3!. 4!
6.4!
 

5 5 6
 + = 
 2  3  3 
     

para p = 0 ,

Ex:

n
 =
0
 

Binomiais complementares

n!
1
= =1
0!.n! 0!

Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores resulta o numerador.

para p = 1,
 n n!  =
 1 1!.(n − 1)!
 

=

n.(n − 1)!
=n
1.(n − 1)!

n
 
p
 

para p = n,
 n
 =
 n
 

n! n! 1
=
= =1 n!.(n − n)! n!.0! 0!

Ex:

e

 6
 
 4
 

 n 


n − p



são complementares.

7
 =7
 1
 

e

Binomiais complementares são iguais.

9
  =1.
9
 

n  n 
 =

 p  n − p 
  


Atenção!
n
 
 
p
 

=

n!
= C n, p p!.(n − p)!

Ex:

Binomiais consecutivos

Ex1:

7
 
3
 

Ex2:

8
 
5
 

e

e

e

 n 



 p + 1




7
 
 4
 
8
 
 4
 

100  100 

=

 99   1 

 


Igualdade

Dois binomiais são consecutivos se têm mesmo numerador e denominadores consecutivos.
n
 
p
 

são complementares.

Propriedade

Exemplos:
5
  = 1;
0
 

6
 
 2
 

e

n n
Se   =   , então:
 p   q
   

são binomiais consecutivos.

p = q ou p + q = n

são binomiais consecutivos