ação instintiva

Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada
Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.
Vamos analisar a seguinte fração: É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos por ele mesmo. Vejamos:

Partimos de e chegamos a 5.
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor: Neste nosso exemplo é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente o fator racionalizante de um denominador é o próprio .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada
Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.
Observe a fração a seguir: Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:

Perceba que no caso anterior havíamos partido de e passamos por 51, o que nos permitiu chegarmos a 5.
Note que neste caso, porém, partindo-se de chegamos a e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então o que precisamos fazer?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a e não a .
Qual fator é este?
É muito simples. Veja o ponto chave abaixo: Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é , pois:

Logo:

Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador é igual a .

Exemplos

Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados
Agora no