Aula sobre conjuntos

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* Conjunto – Elemento – Pertinência
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas: Conjunto, Elemento e Pertinência entre elemento e conjunto.
A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema.
Exemplos:
1) Conjunto das vogais
2) Conjuntodos algarismos romanos
3) Conjunto dos números ímpares positivos
4) Conjunto dos números primos positivos
5) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho
6) Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos:
1) a, e, i, o, u
2) I, V, X, L, C, D, M
3) 1, 3,5, 7, 9, 11,…
4) 2, 3, 5, 7, 11, 13,…
5) paus, ouros, copas, espadas
6) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro.
No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números ímpares e 2 não pertence.
Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. Éimportante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.
Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula, A, B, C,…, e um elemento com uma letra minúscula, a, b, c, d, x, y, … .
Sejam A um conjunto e x umelemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos:
x∈A
Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos:
x∉A
É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim, na representação abaixo temos:
a∈A, b∈A e d∉A | |
No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando o assim chamado diagrama de Euler-Venn.

*Descrição de um conjunto
Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.

* Descrição pela citação dos elementos
Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos, devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.Exemplos:
* Conjunto das vogais: {a, e, i, o, u}
* Conjunto dos algarismos romanos: {I, V, X, L, C, D, M}
* Conjunto dos nomes dos meses de 31 dias: {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}
Essa notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciam a lei de formação e em seguida colocamos reticências.
Exemplos:
*Conjunto dos números ímpares positivos: {1, 3, 5, 7, …}
* Conjunto dos números primos positivos: {2, 3, 5, 7, 11, …}
* Conjunto dos múltiplos inteiros de 3: {0, ±3, ±6, ±9,, …}
A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocando reticências e indicamos o último elemento.
Exemplos:
* Conjunto dos númerosinteiros de 0 a 500: {0, 1, 2, …, 500}
* Conjunto dos divisores positivos de 100: {1, 2, 5, 10, …, 100}

* Descrição por uma propriedade
Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma propriedade característica P de seus elementos x, escrevemos:
A=xx tem a propriedade P
e lemos: “A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P”.

Exemplos:
* xx é divisorinteiro de 3 é uma maneira de indicar o conjunto: {1, -1, 3, -3}
* xx é inteiro e 0≤x≤500 pode também ser indicado por: {0, 1, 2, 3, …, 500}

* Conjunto unitário – Conjunto vazio
Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.
Exemplos:
* Conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}
* Conjunto das soluções da equação 3x+1=10: {3}

Chama-se conjunto vazio...
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