Aula 12 Tor O

Torção
Deformação por torção de um eixo circular
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Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados.

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Torção
Cisalhamento por torção
ߛ=

ߨ
− lim ߠ ´
2 ஻,஼→஺

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BD=ρ dφ = dx γ

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γ = ρ dφ/dx (dφ/dx = para todos os elementos na seção transversal na posição x) então a deformação por cisalhamento é proporcional a ρ

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Como dφ/dx = γ / ρ = γmax / c então: γ = (ρ / c) γmax

γ = (ρ / c) γmax

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A fórmula da torção
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Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica τ=Gγ.
Uma variação linear na deformação por cisalhamento γ resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento τ correspondente, ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. Portanto, igual que no caso da deformação por cisalhamento, τ variará de zero a τmax

τ = (ρ / c) τ max
Para qualquer elemento de área dA localizado em ρ teremos uma força F = τ dA. O torque produzido por F será dT = ρ τdA e para toda a seção teremos:
ߩ
߬௠௔௫
ܶ = න ߩ߬݀‫ = ܣ‬න ߩ ߬௠௔௫ ݀‫= ܣ‬
න ߩଶ ݀‫ܣ‬
ܿ
ܿ ஺
஺
஺

τ máx =

Tc
Tρ
ou τ =
J
J

τ máx = tensão de cisalhamento máxima no eixo τ = deformação por cisalhamento à distância ρ
T = torque interno resultante (método das seções!)
J = momento polar de inércia da área da seção transversal c = raio externo do eixo

ρ = distância intermediária

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Como calcular o J (momento polar de inércia)?
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Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, utilizamos um anel diferencial de área de espessura dρ portanto dA = 2πρdρ e a integral (0 a c) fica:

J=

•

π
2

c4

Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,

J=

π

( c 2

4 o − ci4

)

4

Exemplo 1
O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio interno c/2 e raio externo c.
Solução:
A tensão no eixo varia linearmente, tal que τ = (ρ c )τ máx .
O torque no