Atps sistemas lineares

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Exemplos de Equações Lineares:
 4g + 7h + 2p = 28
 16a – 6g – 1w = 19
 8x + 2y - 1z = 18

b) Solução de equações lineares

Uma sequência de números reais (r1, r2, r3, r4) é solução da equação linear:

a11 x1 +a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

Se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:
a11 r1+ a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1
Exemplo: A sequência (2,3,9) é uma solução da equação 2x+3y-2z=-5 pois, tomando x=2, y=3 e z=9 na equação dada, teremos:
2x2 + 3x3 - 2x9 = -5
4 + 9 - 18 = -5
13 - 18 = -5
-5 = -5

Exemplos de Solução de Equações Lineares:

 8x + 2y - 1z = 18
Dizemos que o trio ordenado (2, 1 e 0) é a solução do Sistema, pois ele equivale às três equações lineares. Assim:8x + 2y - 1z = 18
8*2 + 2*1 - 1*0 = 18
16 + 2 – 0 = 18
18 = 18

 16a – 6g – 1w = 19
O trio ordenado para esta equação é (2, 2 e 1), pois ele equivale às três equações lineares. Assim:
16x - 6y - 1z = 19
16*2 - 6*2 - 1*1 = 19
32 - 12 - 1 = 19
32 - 13 = 19
19 = 19

 4g + 7h + 2p = 28
O trio ordenado para esta equação é (3, 2 e 1) é a solução do Sistema, pois ele equivale às trêsequações lineares. Assim:
4g + 7h + 2p = 28
4*3 + 7*2 + 2*1 = 28
12 + 14 + 2 = 28
28 = 28
c) Definição de sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 +a12 x2 +... + a1n xn = b1
a21 x1 +a22 x2 +... + a2n xn = b2

Am1 x1 +am2 x2 +... + amnxn = bn
Onde:
• x1, x2, ..., xn são as incógnitas;
• a11, a12, ..., amn são coeficientes;
• b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Exemplos de Sistema de Equação Linear.
 2x + 3y = 10
x – 5y = 2

 5x – 6y – 2z = 15
9x – 10y + 5z = 20

 x + 9y + 6z = 20
3x – 10y – 12z = 5
-x + y + z = 23

 x+ y + z + w = 36
2x – y +2z + 9w = 40
-5x + 3y – 5z + 5w = 16

 d)Solução de Sistema de Equação Linear.
Há vários métodos para encontrar a solução do Sistema de Equação Linear: Método da Substituição, da Soma, da Comparação, Fatorização de Matrizes e a Regra de Cramer.
• Método da Substituição
O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesmaincógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.
Sistemas com duas equações
Um sistema com duas equações lineares se apresenta por:

Onde x e y são as incógnitas.
Para solucioná-lo por substituição, substituem-se as variáveis em suas equações por seus polinômios correspondentes:






• Método da Soma
O método da soma é o mais direto para se resolverem os sistemas,pois é uma forma simplificada de usar o método da substituição. Só é possível quando as equações são dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinômios das equações, todas as incógnitas, exceto uma, se anulam. É mais simples e direto que o outro método.


x = 7
y = 12 – 7
y = 5

Sistemas com duas equações
Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde x e ysão as incógnitas, deve-se subtrair os polinômios das equações.

y – y = ax + b – dx – c
ax + b – dx – c = 0
x = c - d
a - d

O método da soma é possível apenas com determinadas incógnitas, dependendo das equações do sistema. Nesse caso, é possível apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a primeira incógnita em uma das equações do sistema

•Método da comparação
Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

• Fatorizações de matrizes
Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de Matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o...
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