ATPS passos 1 e2

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Conteúdo
Conceito de Derivada e Regras de Derivação ........................................................................................ 2
Introdução................................................................................................................................................ 2
Velocidade Média.................................................................................................................................... 2
Velocidade Instantânea ........................................................................................................................... 3
Aceleração média e instantânea ............................................................................................................. 5
A Constante de euler............................................................................................................................... 7

1

Conceito de Derivada e Regras de Derivação

Introdução
Essa atividade visa aplicar a derivada em conceitos básicos de física mais especificamente
nos conceitos de velocidade e aceleração. A resolução de problemas sobre movimento de
particulas com a utilizacão de derivadas é maisprático.

Velocidade Média
A velocidade média é definida como a razão entre a variação de posição e o intervalo de
tempo que ocorreu esta variação. A variação de posição (deslocamento) é uma grandeza
vetorial e o intervalo de tempo é escalar. Portanto a velocidade média é uma grandeza
vetorial.
Exemplificando se a função espaço é s
, conforme ilustra o gráfico abaixo, teremos,
para o intervalode
a variação de posição de
s(m)

f(x)=5x^2
f(x)=5x
Séries 1

5.5

B

5

4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

A

t(s)
0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

-0.5

Figura 1: Gráfico da posição em função do tempo para a função espaço

Logo a velocidade média será dadapor

Observando no gráfico notamos que a velocidade média é o coeficiente angular da reta que
une a posição no instante inicial e a do instante final, que é uma reta secante a curva da
posição em função do tempo.

2

Velocidade Instantânea
O conceito de velocidade instantânea está associado a um único instante de tempo. Por
exemplo,

. E escrevemos

( )

para o módulo dessavelocidade instantânea. Podemos pensar

que o módulo da velocidade instantânea
quando

é tomado muito próximo de

( )

é o valor do módulo da velocidade média

( )

, ou seja, a velocidade instantânea é igual ao valor

limite de velocidades médias (em intervalos de tempo cada vez menores). Desse modo, o
cálculo do módulo da velocidade instantânea
da velocidade média

(

),

( )pode ser feito como o cálculo do módulo

desde que o segmento de reta secante ⃡

seja substituído por um

segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo. Isso nos leva a concluir que a
velocidade instantânea é a derivada da função espaço.
( )
(

( )

)

( )

Logo:

Exemplificando:
Vamos considerar uma partícula partindo o seu movimento da posição inicial 2m com umavelocidade inicial de 30m/s e aceleração 23m/s2 (0+9+9+5, somatório do último algarismo
que compõe o RA dos alunos integrantes no grupo). A função espaço será dada por

Tabela da

( )

( )

( )

0

2

1

43,5

2

108

3

195,5

4

306

5

439,5

3

( )

y

Gráfico da posição em função do tempo
T abela

500

450
(5,439.5)

400

350

300

(4,306)250

200
(3,195.5)

150

(2,108)

100

50
(1,43.5)

t(s)
-0.5

(0,2)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Figura 2: Gráfico da posição em função do tempo para a função espaço

A função espaço é uma função de segundo grau, cuja variação de posição no intervalo de 0 a
5s é 437,5m. Para calcular as velocidades e plotar o gráfico da

( ⁄ )...
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