ATPS de Equações e Diferenciais

Série de Taylor

A série de Brook Taylor nos dá uma solução aproximada de uma função, e nos permiti estimar o erro associado, alem de calcular a função em um ponto até uma determinada potência. Em uma função f(x) em torno de um ponto a é a soma dos elementos da série de potências. A constante é o centro da série que pode ser encarada como uma função real ou complexa. Se a = 0, a série também é chamada de Série de Maclaurin (de Colin Maclaurin). A representação de f é dita centrada em a, pois o polinômio que aparece antes do erro de truncatura assume valor igual a f(a), ou seja, o erro de a é igual a zero. Uma maneira alternativa de representar a função, iterando nosso processo o quanto quisermos, é:

Sendo que N! é fatorial de n e também é a n-ésima derivada de f(x) no ponto a. Com essa ferramenta, podem ser moldadas funções trigonométricas, exponenciais e logarítmicas em polinômios.
Se f é uma função diferenciável, os pontos de estacionaridade, isto é, os pontos x aonde f’(x)=0, são um ponto de partida para o estudo dos extremos de f. Dada à função

, expanda-a em série de Taylor, com aproximação até terceira ordem, em torno de a = 0 ou .

- Primeiro passo: calcular f(a) = f(0).

Substituindo 0 na função

Temos que

- Segundo passo: calcular f'(0).

Derivando a função.

,
Obteremos

Portanto,

- Terceiro passo: calcular f''(0).

Derivando a função

Vamos obter

Portanto,

- Quarto passo: Achar f'''(0).

Derivando a função

Temos que

Portanto,

- Quinto passo: substituir f(0), f'(0), f''(0), f'''(0) e a = 0 na fórmula de Taylor, no caso:

E teremos

A séries de Taylor podem ser somadas, subtraídas e multiplicadas por constantes e potências de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a enésima derivada de f + g é f(n) + g(n) e