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Propriedade Hereditária
O princípio de indução finita tem como universo o conjunto dos naturais
N = {1, 2, 3, ..., n,...}
e incide sobre propriedades ou condições dependentes da variável natural, n. Por exemplo: "n é par", "10n é múltiplo de 7" ou "3n +1 > 17". Ou seja, sobre expressões proposicionais, que quando concretizadas por valores de n, podem originar proposições falsas ou verdadeiras.Comecemos por observar que por meio da operação elementar de adicionar uma unidade, temos a possibilidade de passar de um número natural, n para o número natural seguinte n + 1, a que chamaremos o sucessor de n.
Uma propriedade ou condição, P(n) , de variável natural, dir-se-á hereditária sempre que sendo uma proposição verdadeira para um qualquer natural, n, é também verdadeira para o seusucessor, n + 1.
Por exemplo, condição "n é par" não é hereditária, já que se um determinado número n é par, então o seu sucessor, n + 1, será certamente um número ímpar.
No entanto, "10n é múltiplo de 7" é uma propriedade hereditária. De facto, admitamos que
10n é múltiplo de 7,
isto é, que existe um número natural a tal que
10n = 7a.
Nesta situação então também 10n+1 é múltiplo de 7 visto que10n+1 = (10n ) 10 = (7a) 10 = 7 (10a).
Podemos descortinar alguma semelhança desta "hereditariedade matemática" com a hereditariedade genética, regulada pelas conhecidas leis de Mendel. Aqui se estabelece que certas características genéticas como ter "grupo sanguíneo A" se pode transmitir nos humanos de pai para filho, ou talvez melhor, de um indivíduo para os seus descendentes ou sucessores.Propriedade Indutiva

Através da argumentação usada anteriormente relativa a "10n é múltiplo de 7", também podemos estabelecer que é hereditária a propriedade "10n é múltiplo de 5". Porém, há uma diferença entre as duas: é que enquanto esta é verificada para todos os números naturais, a primeira é uma condição impossível, já que nenhuma potência de 10 é múltipla de 7.
Parece estranho estefacto? Talvez não. Poderemos também imaginar que nos humanos a característica "ter olhos vermelhos" seja tão hereditária como a de ter "grupo sanguíneo A" e, contudo, não se conhece nenhum ser humano com olhos vermelhos. Isto significa que não podemos desprezar um outro detalhe essencial inerente a esta questão: que é a de haver um primeiro elemento a ser possuidor de tal característica.
Se apropriedade hereditária, P(n), for verdadeira para n = 1 (ou seja, se P(1) for uma proposição verdadeira) diremos que P(n) é uma propriedade indutiva.
Assim, a principal diferença entre as propriedades "10n é múltiplo de 7" e "10n é múltiplo de 5" reside no facto de a última ser indutiva e a primeira não.
Considerando agora a propriedade "10n é múltiplo de 8", estamos perante, à semelhança dos casosanteriores, de uma propriedade hereditária que, contudo, não é indutiva, pois 10 não é múltiplo de 8. De facto, nem 10, nem 100 são múltiplos de 8, mas são múltiplos de 8 os naturais 1000, 10000, etc. o que significa que a condição "10n+2 é múltiplo de 8" é indutiva.

Conjuntos Hereditários e Indutivos

Analogamente poderemos falar em conjuntos hereditários e indutivos.
Na verdade, dadosubconjunto S formado por números naturais, se ele tiver a característica de, ao conter um natural n, conter também o seu sucessor n + 1, diremos que S é um conjunto hereditário. Se S for hereditário e tal que 1 [pic]S, diremos que S é um conjunto indutivo.
À semelhança do que acima referimos não é hereditário o conjunto dos números pares P = { 2, 4, 6, … }. Analogamente também não é hereditário oconjunto dos números ímpares.
Com p [pic]N arbitrário, qualquer um dos conjuntos
Np = {n [pic]N : n ≥ p}
obtido a partir de IN por supressão dos seus p primeiros elementos, é claramente um conjunto hereditário, sem ser indutivo. É deste tipo o conjunto
A = {n [pic]N: 10n é múltiplo de 8}
que conforme acima referimos é tal que
A = N2.
Do mesmo modo
B = {n [pic]N: 10n é múltiplo de 7}
é um...
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