Areas

Áreas de Figuras Planas e o Teorema de Ceva
Nível 1
Marcelo Mendes de Oliveira [e-mail] Introdução

Veremos a seguir alguns resultados básicos relacionando áreas de figuras planas. Nosso objetivo será o Teorema de Ceva demonstrado utilizando áreas de triângulos.

Baseados na fórmula para área de triângulo, temos os seguintes fatos:

1. Triângulos que possuem bases e alturas relativas a essas bases respectivamente com medidas iguais têm mesma área.

2. Triângulos que possuem apenas bases com medidas iguais têm áreas proporcionais às alturas relativas a essas bases.

3. Triângulos que possuem alturas com medidas iguais têm áreas proporcionais às bases relativas a essas alturas.

Passemos agora a alguns exemplos.

Exemplos

Exemplo 1: Dado o quadrilátero convexo ABCD e o ponto médio E da diagonal AC, calcular a área de ABED em função da área de ABCD.

Como BE e DE são medianas dos triângulos ABC e ADC, respectivamente, elas dividem as áreas desses triângulos em duas partes de mesma área. Assim, o quadrilátero ABED, sendo formado pelas metades ABE e ADE dos triângulos ABC e ADC, que juntos formam o quadrilátero ABCD, tem metade da área de ABCD.

Exemplo 2: Seja ABCD um trapézio de bases AB e CD. As diagonais se intersectam no ponto O. As áreas dos triângulos ADO e BCO são iguais.

Perceba que os triângulos ADC e BCD têm mesma área, já que possuem mesma base DC e alturas congruentes (as distâncias de A e B ao lado DC). Agora, retire de ambos o triângulo DOC comum a ambos. Dessa forma, restam os triângulos ADO e BCO com áreas iguais.

Exemplo 3: Dado o polígono convexo ABCDE, achar um quadrilátero ABCD’ que tenha a mesma área.

Trace por E uma paralela à diagonal AD. Em seguida, ligue A a D’ (interseção de CD com a paralela traçada). Assim, os triângulos ADE e ADD’ têm áreas iguais (veja item 1 da introdução). Como o quadrilátero ABCD não sofreu alteração, ABCDE e ABCD’ têm áreas equivalentes, como queríamos.

Exemplo 4: Dado o