Apostila robotica

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Introdução à Robótica

Luís Paulo Laus 8 de novembro de 2011

Introdução à Robótica — Universidade Tecnológica Federal do Paraná
A Data de impressão (versão): 8 de novembro de 2011, 24-10-2011 documento composto com LTEX 2ε usando LYX.

8 de novembro de 2011

Prof. Luís Paulo Laus, Dr. Eng.

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1. Descrição de Objetos no Espaço 3D
1.1. Introdução
Em robótica, constantemente énecessário descrever a posição e a orientação de objetos no espaço tridimensional. Quando, por exemplo, um robô é programado para apanhar uma peça com sua garra, é necessário descrever a posição da peça para que o controlador do robô consiga posicionar o manipulador de forma adequada. Além disso, a orientação relativa da garra e da peça pode ser importante (ou mesmo fundamental) para a realizaçãoda tarefa. Se a peça for alongada, pode ser impossível pegá-la simplesmente porque a garra não abre o suficiente para apanhá-la no maior comprimento; porém, pode ser possível apanhá-la se a garra for orientada perpendicularmente ao maior comprimento. Na criação de modelos matemáticos de robôs, constantemente se enfrenta o problema de descrever a posição e a orientação das diversas partes móveis dorobô. Para isso, são usados sistemas de coordenadas. Esse capítulo se dedica a estudar os sistemas de coordenadas, a transformação de coordenadas de um sistema para outro (mapeamento) e a transformação das coordenadas devido à movimentação de objetos. No início do capítulo são introduzidos alguns elementos da geometria euclidiana, da álgebra vetorial e de equações trigonométricas.

1.2. Ponto,Reta e Plano
Ponto, reta e plano são os elementos primitivos da geometria euclidiana. Pode-se definir ponto como: um lugar geométrico sem dimensão. De outra forma, ponto é o lugar do cruzamento de duas retas ou de um plano e uma reta. Casos as retas sejam concorrentes, o ponto de cruzamento é chamado de ponto próprio, caso elas não sejam concorrentes, ou seja, sejam paralelas o ponto é chamado deponto impróprio. No caso de uma reta e um plano ocorre o mesmo: se a reta for paralela ao plano o ponto é impróprio, caso contrário é um ponto próprio.

1.3. Funções Seno, Cosseno e Tangente
As funções trigonométricas desempenham um papel importantíssimo no estudo da Robótica porque são usadas para projetar (calcular o comprimento da projeção) segmentos de retas e vetores sobre outros segmentosde retas, ou vetores. Elas associam o valor de um ângulo com o valor de um comprimento que, como veremos, é adimensional por se tratar de uma distância normalizada. A definição da função seno1 e cosseno estão diretamente ligadas ao problema de projeção ortogonal de um segmento de reta sobre outro segmento de reta sendo que os dois formam entre si um ângulo que denotaremos nesta seção por θ. O ânguloθ é chamado de argumento da função. Formalmente, o seno de um ângulo θ, denotado2 por sen θ ou s θ, é definido como sendo a distância normalizada medida do centro de uma circunferência3 de raio unitário, que delimita o chamado círculo trigonométrico, até a projeção ortogonal de um ponto P sobre um eixo vertical; o ponto P pertencente tanto a esta circunferência quanto a uma semirreta que inicia nocentro C da circunferência e que forma um ângulo θ com o eixo horizontal; e é desta forma que o ponto P é definido conhecendo-se o
Mais tarde, os árabes usaram a palavra jiba que foi distorcido para jaib e que significa dobra e que foi traduzido para o latim sinus (que também significa dobra). François Viète (1540-1603) sugeriu o nome cosseno para o “resíduo” do seno. 2 Em Robótica são usadas muitopoucas funções o que permite usar nomes curtos para abreviá-las. Por economia de espaço é preferível abreviar seno de um ângulo θ por s θ ao invés de sen θ que é a notação quase que predominante nas outras áreas. O mesmo ocorre com o cosseno de um ângulo θ, abreviado por c θ. 3 Apesar de muitos autores estarem usando o termo “circulo”, em detrimento de “circunferência”, nós manteremos a...
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