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34 7 – Integral Tripla 7.1 – Definição Seja w = f(x,y,z) uma função de três variáveis definida numa região fechada e limitada T do espaço xyz. Se subdividirmos T em pequenas sub-regiões traçandoplanos paralelos aos planos coordenados.
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma∑ f ( x , y , z )∆V
k k k k =1
n
k
,
onde ∆Vk é o volume do paralelepípedo Tk. Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralepípedos Tk tende azero quando n → ∞ . Se existir lim ∑ f ( xk , yk , z k )∆Vk , ele é chamado de integral tripla da
k =1 n
n →∞
função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por
∫∫∫ fdV
T
ou
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz .
T
35
7.2 – Propriedades
De forma análoga à integral dupla, temos: a) ∫∫∫ kfdV = k ∫∫∫ fdV
T T 1
b) c)
∫∫∫ ( f
T
T
+ f 2 )dV =
∫∫∫ f dV + ∫∫∫ f dV
1 2 T T∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV ,
T1 T2
onde T = T1 ∪ T2
7.3 – Cálculo da integral tripla
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla.Podemos ter diversas situações:
1º caso) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobrea região R do plano xy.
Nesse caso, temos
h2 ( x , y ) f ( x, y, z )dV = ∫∫ ∫ f ( x, y, z )dz dxdy ∫∫∫ T R h1 ( x , y )
f ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x ) Se a região R for do tipo R: 1 , a integral tripla iterada será: a≤ x≤b
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ ∫
T a
b
f 2 ( x)
h2 ( x , y )
∫ f ( x, y, z )dzdydx
f1 ( x )
h1 ( x , y )
2º caso) A região T édelimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p1(x, z) e à direita pelo gráfico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R’ do plano xz.
A figura mostra a situação:...
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma∑ f ( x , y , z )∆V
k k k k =1
n
k
,
onde ∆Vk é o volume do paralelepípedo Tk. Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralepípedos Tk tende azero quando n → ∞ . Se existir lim ∑ f ( xk , yk , z k )∆Vk , ele é chamado de integral tripla da
k =1 n
n →∞
função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por
∫∫∫ fdV
T
ou
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz .
T
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7.2 – Propriedades
De forma análoga à integral dupla, temos: a) ∫∫∫ kfdV = k ∫∫∫ fdV
T T 1
b) c)
∫∫∫ ( f
T
T
+ f 2 )dV =
∫∫∫ f dV + ∫∫∫ f dV
1 2 T T∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV ,
T1 T2
onde T = T1 ∪ T2
7.3 – Cálculo da integral tripla
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla.Podemos ter diversas situações:
1º caso) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobrea região R do plano xy.
Nesse caso, temos
h2 ( x , y ) f ( x, y, z )dV = ∫∫ ∫ f ( x, y, z )dz dxdy ∫∫∫ T R h1 ( x , y )
f ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x ) Se a região R for do tipo R: 1 , a integral tripla iterada será: a≤ x≤b
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ ∫
T a
b
f 2 ( x)
h2 ( x , y )
∫ f ( x, y, z )dzdydx
f1 ( x )
h1 ( x , y )
2º caso) A região T édelimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p1(x, z) e à direita pelo gráfico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R’ do plano xz.
A figura mostra a situação:...
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