34 7 – Integral Tripla 7.1 – Definição Seja w = f(x,y,z) uma função de três variáveis definida numa região fechada e limitada T do espaço xyz. Se subdividirmos T em pequenas sub-regiões traçandoplanos paralelos aos planos coordenados.
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). Formamos a soma∑ f ( x , y , z )∆V
k k k k =1
n
k
,
onde ∆Vk é o volume do paralelepípedo Tk. Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos paralepípedos Tk tende azero quando n → ∞ . Se existir lim ∑ f ( xk , yk , z k )∆Vk , ele é chamado de integral tripla da
k =1 n
n →∞
função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por
∫∫∫ fdV
T
ou
∫∫∫ f (x, y, z )dxdydz .
T
35
7.2 – Propriedades
De forma análoga à integral dupla, temos: a) ∫∫∫ kfdV = k ∫∫∫ fdV
T T 1
b) c)
∫∫∫ ( f
T
T
+ f 2 )dV =
∫∫∫ f dV + ∫∫∫ f dV
1 2 T T∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV ,
T1 T2
onde T = T1 ∪ T2
7.3 – Cálculo da integral tripla
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a inicialmente a uma integral dupla.Podemos ter diversas situações:
1º caso) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x, y) e superiormente pelo gráfico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobrea região R do plano xy.
Nesse caso, temos
h2 ( x , y ) f ( x, y, z )dV = ∫∫ ∫ f ( x, y, z )dz dxdy ∫∫∫ T R h1 ( x , y )
f ( x ) ≤ y ≤ f 2 ( x ) Se a região R for do tipo R: 1 , a integral tripla iterada será: a≤ x≤b
∫∫∫ f ( x, y, z)dV = ∫ ∫
T a
b
f 2 ( x)
h2 ( x , y )
∫ f ( x, y, z )dzdydx
f1 ( x )
h1 ( x , y )
2º caso) A região T édelimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p1(x, z) e à direita pelo gráfico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região R’ do plano xz.
...aresta dos paralelepípedos Tk tende a zero quando n →ȹ
Se existir , ele é chamado:
INTEGRALTRIPLA da função f (x, y, z) sobre a região T e representamos por
Propriedades
De forma análoga a integrais duplas, temos:
Como mostra a figura a seguir:
Cálculo de IntegraisTriplas
Através das três situações seguintes, o cálculo da integraltripla será reduzido, inicialmente, a...
...´
3. INTEGRAIS MULTIPLAS
Integrais duplas: Objetivos:
Ao final do cap´ıtulo espera-se que o aluno seja capaz de:
1.
Encontrar o valor de uma integral dupla;
2.
Interpretar geometricamente uma integral dupla;
3.
Dada uma regi˜ao delimitada por fun¸c˜oes, encontrar os limitantes que
permitem calcular o valor da integral dupla;
4.
Calcular integrais duplas em coordenadas polares;
5....
...1- Seja a equação x3 – 2x – 1 = 0 que só tem uma raiz positiva. Determine, pelo princípio da bisseção, 1 num intervalo de amplitude , entre 0 e 2, que contenha tal raiz e calcule uma aproximação inicial. 2 2- No exercício anterior se desejássemos pesquisar raízes negativas usando um intervalo de amplitude – 2 até 1, em que intervalo encontraria uma raiz? 3- A equação x2 – 7x + 12 = 0 tem 3 e 4 como raízes. Na busca da menor raiz faz-se a transformação x = x2 – 6x + 12, isto é, F(x).Determine...
...Cálculo 3
IntegraisTriplas em
Coordenadas Cartesianas
Conteúdos associados à IntegraisTriplas em Coordenadas Cartesianas
Integral como
Somas Infinitas
Funções de Várias
Variáveis
IntegralTripla em
Coordenadas Cartesianas
Integração por
Substituição
“u.du”
Técnicas de
Integração
Integração por
Partes “u.dv”
Integrais Definidas...
...(2012), quem
Anais da X Semana de Licenciatura
Comunicação Científica
desenvolveu o Cálculo foi Newton e Leibniz, eles uniram as técnicas já conhecidas e incertas,
e lapidaram essas técnicas dando origem ao Cálculo Diferencial e ao Cálculo Integral.
Contudo, o Cálculo desenvolve expressões matemáticas que reduz e facilita a
aplicação de exemplificações matemáticas, sendo uma forma simplificada de realizar as
tarefas matemáticas, uma ferramenta precisa. Em seu...
...Álvaro Fernandes
Integraistriplas
Seja w f x , y , z uma função contínua definida numa região fechada e limitada G do
espaço. Podemos associar a G um sólido no espaço. Subdividimos G em pequenos paralelepípedos
traçando-se planos paralelos aos planos coordenados. Considere apenas os paralelepípedos no
interior de G, como mostra afigura abaixo.
Numeramos os paralelepípedos de 1 até n. Em cada um dos pequenos paralelepípedos
Gk , k 1,2 ,..., n , escolhemos...
...
1. Introdução
Desde sua criação, integrais tem uma infinidade de aplicações praticas, graças a elas, inúmeras descobertas foram feitas, entre elas a primeira aproximação do numero “pi”, por Arquimedes. Neste trabalho, pretende-se explicar e exemplificar algumas das aplicações práticas para integrais múltiplas e dar uma breve explicação sobre seus conceitos.
A importância das integrais múltiplas se estende da matemática para áreas da física e até...
...Exercícios. Integraltripla
Calcule a integral iterada.
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic], onde D={(x,y,z)/ 0 [pic]y [pic]2, 0 [pic] x [pic][pic], 0 [pic]z [pic]y }.
4. [pic], onde D está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y = [pic], y = 0 e x = 1.
5. [pic], onde D é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0) , (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).
6. [pic], onde D é limitado pelo cilindro...
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