Amarelo

Combinatória

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ARRANJOS
•

Interessa a ordem
Há repetição

n

n: Hipóteses de resposta p: Lugares a ocupar

'
Ap = n p

Exemplo: Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos números de 3 algarismos podemos formar?

Não há repetição

n

Ap =

n!
= n ( n − 1)( n − 2 ) ...( n − p + 1)
( n − p )!

Exemplos: 1) Dos 20 alunos de uma turma vão ser escolhidos 3 para a A.E.
(pres., vice-pres. e secretário). De quantas maneiras pode ser feito? 2) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, quantos números de 3 algarismos diferentes podemos formar?)

COMBINAÇÕES
•
•

Não interessa a ordem
Não há repetições n n
Ap n Ap
n  n! Cp =   =
=
=
, n≥ p p!  p  p !( n − p )! Pp

Exemplos: 1) Dos 20 alunos de uma turma vão ser escolhidos 3 para irem ao teatro. Quantos grupos podem ser constituídos?
2) Totoloto

PERMUTAÇÕES
•
•

Entram todos os elementos
Interessa a ordem (porque mudam a ordem)
Os elementos são todos diferentes (sem restrições):

Pn = n!

Exemplo: Dispor 5 pessoas numa fila de cinema.

Há elementos do mesmo tipo e queremos que fiquem juntos:
Pn = p ! n1 ! n2 ! n3 !

Exemplo: 4 livros de Mat, 5 de Inglês e 2 de Hist.

Pn = 3!4!5!2!

É o num de grupos diferentes

Há elementos do mesmo tipo e não nos interessa como ficam:
9!
Exemplo: 222005555
Pn =
3!2!4!
Prof. Eva Figueiredo

www.matematica.com.pt

[e-mail]

Pn =

n! n1 ! n2 ! n3 !

tlm. 919 380 994

Combinatória

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Triângulo de Pascal

Propriedades:
• Simetria:
•
•

•

n

C p = nC n − p

Soma dos elementos da linha n:
2n
Somando 2 termos consecutivos de uma linha, obtemos o termo seguinte da linha seguinte: n C p + nC p +1 =

n +1

C p +1

Calculo de um qualquer termo:
Tp +1 = nC p a n − p b p ou

Tp = nC p −1 b p −1a n − p +1

BINÓMIO DE NEWTON

(a + b)

n

Nota: 6C2 = 6C4 ;

= nC0 a n b 0 + nC1a n−1b1 + nC2 a n−2 b 2 + ... + nCn−1a1b n−1 + nCn a 0 b n

C3