Algoritimos

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COLÉGIO PEDRO II - UERJ – 2012
(Professor Walter Tadeu – www.professorwaltertadeu.mat.br)

ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA – PARTE 2 - GABARITO

1) Uma roleta após ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posições distintas. Uma seta indica o número correspondente a cada posição, como ilustra a figura ao lado.
João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os números indicados pela setaapós cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses números ser par.

Solução. Há dois algarismos 1, quatro algarismos 3 e dois algarismos 2, num total de oito algarismos. Para que a soma seja par, é necessário que os dois resultados sejam ímpares ou pares. Como cada giro independente do outro os eventos são independentes. Temos:

[pic].


2) Um sistema de numeração de base b, sendo b ≥ 2,utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 8 × 100. Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base.
Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b = 5 e corresponde a 2 × 53 + 0 × 52 + 4 × 51 + 3 ×50, ou seja, 273 no sistema decimal.

a) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos.

Solução. No sistema de numeração debase 7 os algarismos são {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto é, os restos possíveis na divisão por 7. Como não se considera zero à esquerda as possibilidades iniciam com seis algarismos:

[pic]. Logo há 720 números distintos.

b) Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos,obtemos (2343)x = (534)x+3.
Calcule o valor da base x e as outras duas raízes da equação resultante.

Solução. Escrevendo as contagens nas respectivas bases, temos:
2.x3 + 3.x2 + 4.x1 + 3.x0 = 5.(x + 3)2 + 3.(x + 3)1 + 4.(x + 3)0 ( 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5(x + 3)2 + 3(x + 3) + 4 (
( 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5(x2 + 6x + 9) + 3x + 9 + 4 ( 2x3 + 3x2 + 4x + 3 = 5x2 + 33x + 58 (
( 2x3 – 2x2 – 29x – 55 = 0.
Essaequação algébrica possui uma raiz inteira e positiva, pois representa a base. Pela pesquisa de raízes as possibilidades são: {±1; ±5; ±11; ±55; ±1/2; ±5/2; ±11/2; ±55/2}. Destas opções para a base, o valor 5 é o mais indicado. Verificando se é raiz, temos: 2(5)3 – 2(5)2 – 29(5) – 55 = 250 – 50 – 145 – 55 = 250 – 250 = 0.

Logo, x = 5 é a base. Para encontrar as outras raízes, aplicamos o dispositivoBriot-Ruffini.

O quociente é Q(x) = 2x2 + 8x + 11 = 0. Resolvendo, vem:

[pic].



3) A foto ao lado mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m. Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola. Ao entrar no túnel, umcaminhão com altura AP igual a 2,45m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.

Solução. O arco de parábola está localizado de forma que o eixo de simetria seja x = 0. Logo se AB = 8, então A = - 4 e B = 4, considerando que são raízes e opostas pelo eixo. O ponto C é a interseção da parábola com oeixo Y e coincide com o máximo. Desta forma, concluímos que:
i) f(x) = ax2 + c. O valor de b é nulo, pois a soma das raízes é (-4) + 4 = 0. Logo, S = -b/2 = 0 ( b = 0.
ii) a < 0, pois a concavidade da parábola é para baixo. O produto das raízes é P = (-4).(4) = -16. Pela relação de Girard P = c/a = 5,6/a ( 5,6/a = - 16 ( a = - 5,6/16.
A distância pedida é a abscissa x’ cuja imagem é a altura do...
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