Algebra

ÁLGEBRA LINEAR

1 2. Matrizes de ordem 3x3

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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO - 1ª Série Profa. Aline M. Romano de Barros

 a11  Seja A =  a21 a  31

a12 a 22 a32

a13   a 23  , então: a33  

DETERMINANTES – (PLT – pág. 268) REPRESENTAÇÃO:

= (a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 ) + (a12 ⋅ a23 ⋅ a31 ) + (a13 ⋅ a 21 ⋅ a32 ) − (a31 ⋅ a22 ⋅ a13 ) − (a32 ⋅ a23 ⋅ a11 ) − (a33 ⋅ a21 ⋅ a12 )
CÁLCULO DE DETERMINANTES: OBS: Diferente de outras operações com matrizes, o cálculo do determinante só pode ser realizado em matrizes quadradas. Exemplos:

1. Matrizes de ordem 2x2

 a11 a12   , então: Seja A =  a   21 a 22 
Exemplos: 1 2    a) A =    0 4

det A =

a11 a 21

a12 = (a11 ⋅ a22 ) − (a12 ⋅ a21 ) a22

1 2 1   a) A =  3 3 1   2 0 4  

 − 3 2 1   b) B =  1 4 2   0 1 2  

 −1 0  b) B =   1 2   

3 1   c) C =  1 − 2  

 2 1 3   c) C =  1 − 1 2  1 2 1  

3 3) Matrizes de ordem igual ou superior a 4x4 Para todas as matrizes desse tipo, teremos que aplicar a regra da triangularização (escalonamento). PROPRIEDADES DE DETERMINANTES:

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P1) det A = det At 1 2  Exemplo: A =   0 4   

Exemplos: 1  1 a) A =  2  2  1 −1 5   2 − 3 0 4 6 8  3 3 1 
P2) Se todos os elementos de uma linha ou coluna forem nulos, o determinante dessa matriz também será nulo.  0 2 Exemplo: A =   0 4   

 2   1 b) B =  4  −2 

4 1 2 6

6 0 1 8

6  0 1  1 

P3) Se multiplicarmos uma linha ou uma coluna por uma constante k , então o determinante da matriz também deverá ser multiplicado por k . 1 2    Exemplo: A =   e det A = (1⋅ 4) − (2 ⋅ 0) = 4  0 4

3 6  B=  0 4  então det B =   

P4) se trocarmos duas linhas (ou colunas) de uma matriz de posição, o determinante da matriz troca de sinal. 1 2  Exemplo: A =   0 4  e det A = (1⋅ 4) − (2 ⋅ 0) = 4   

 0 4 B= 1 2  então det B =   

P5) se uma matriz tem duas linhas iguais, então o