Algebra

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´
UFPE - Algebra Linear: 1a Avalia¸˜o - 2012.1
ca
As respostas somente ser˜o aceitas com justificativa.
a
N˜o ´ permitido qualquer tipo de consulta.
ae
Quest˜o 1. Julgue verdadeiro oufalso cada afirma¸˜o abaixo.
a
ca
a) (1.0) W = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | a0 + a2 = 1 e a1 − a3 = 0} ´ subespa¸o
e
c
de P3 (R) (espa¸o formado pelos polinˆmios de grau menor ou igual 3).
co


1

b) (1.0) A matriz a seguir n˜o ´ invers´
ae
ıvel.











0

0

2

1

1

2

1 2

1 0




1 0


−3 0 1



Quest˜o 2. (1.5) Seja W = [(1, −1, 0, 2), (0, 1, 2,0), (−1, 2, 3, 1)] subespa¸o de
a
c
R4 . E seja v = (2, −2, −3, k ). Qual a condi¸˜o sobre k para que v ∈ W ?
ca
Quest˜o 3. Seja P4 (R) o espa¸o vetorial formado pelos polinˆmios de graua
c
o
menor ou igual 4. Considere U e W subespa¸os de P4 (R). Abaixo temos uma
c
base de U e a defini¸˜o de W
ca
βU = {1 − x − x2 , x , 1 + x2 + 2x4 },
W = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4x4 | a0 + a2 = a3 + a4 e a1 = 0},
a) (1.0) Determine uma base para W e indique a dimens˜o de W .
a
b) (1.5) Determine uma base para U ∩ W e indique a dimens˜o de U ∩ W .
a
c) (1.0) Seja U+ W = {v ∈ P4 (R) | v = u + w, com u ∈ U e w ∈ W }.
Determine uma base para U + W e indique a dimens˜o de U + W .
a
Quest˜o 4.
a


0



0















0 


0

00 2  0 0 1
um base de M2x2 .
, 
, 
, 
1
00
−1 0
0
E seja β outra base para o mesmo espa¸o. Seja matriz mudan¸a de base
c
a
c


a) (1.5) Seja α =

1

[I ]α =
β



Determinepara v = 












00

0

10

0

01

2

0

3

−1 0 2 −1

.







−1 4 
 suas coordenadas [v ]α e [v ]β .
30

Preprint submitted to Elsevier

9 de Abril de 2011 b) (1.5) Seja V = R3 e sejam bases suas: α = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e
β = {(1, −2, 0), (0, −1, 1), (−1, 2, 1)}. Determine as matrizes [I ]β e [I ]α .
α
β
Boa prova!!!

2...
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