Algebra

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Cap´
ıtulo 3
Base e Dimens˜o
a
3.1

Dependˆncia Linear
e

Seja V um espa¸o vetorial sobre K.
c
Defini¸˜o: Um conjunto finito de vetores L = {u1 , u2 , ... , ur } ⊂ V ´ linearmente
ca
e
independente (LI) se, e somente se, a unica maneira de termos a igualdade
´
α1 u1 + α1 u2 + ... + αr ur = 0, αi ∈ K,
´ tomando α1 = α2 = ... = αr = 0.
e
Defini¸˜o: Um conjunto finito de vetores L ={u1 , u2 , ... , ur } ⊂ V ´ linearmente
ca
e
dependente (LD) se, e somente se, ele n˜o for LI; ou seja, ´ poss´ uma igualdade do tipo
a
e
ıvel
α1 u1 + α1 u2 + ... + αr ur = 0, αi ∈ K,
para escalares α1 , α2 , ... , αr n˜o todos nulos.
a
Defini¸˜o: Um conjunto infinito de vetores L = {u1 , u2 , ... , ur , . . .} ⊂ V ´
ca
e
linearmente independente (LI) se, e somente se, todo subconjuntofinito de L ´ LI.
e
linearmente dependente (LD) se, e somente se, L cont´m um subconjunto finito LD.
e
Conven¸˜o: ∅ ⊆ V ´ LI.
ca
e
45

´
Algebra Linear - Notas de Aula

46

Exemplos:
1. S = ∅ ´ LI, por conven¸˜o.
e
ca

2. O conjunto S = {i, j, k} ⊂ V3 ´ LI.
e

3.

• S1 = {1} ⊂ R ´ LI.
e
• S2 = {(1, 0), (0, 1)} ⊂ R2 ´ LI.
e
e
• S3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3 ´LI.
• De um modo geral, o conjunto de n elementos Sn = {(1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), ... ,
(0, 0, ... , 1)} ⊂ Rn ´ LI.
e

4.

.

• Em (C, +, )C o subconjunto S = {1} ⊂ C ´ LI.
e

.

Note que: Em (C, +, )C , uma combina¸˜o linear de S = {1} ´ do tipo (a + bi) .
ca
e
escalar

1.
vetor

.

• Em (C2 , +, )C o subconjunto S = {(1, 0), (0, 1)} ⊂ C2 ´ LI.
e

.

• De ummodo geral, no espa¸o vetorial complexo (Cn , +, )C o subconjunto de n
c
elementos S = {(1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), (0, 0, ... , 1)} ⊂ Cn ´ LI.
e

5.

.

• Em (C, +, )R o subconjunto de dois elementos S = {1, i} ⊂ C ´ LI.
e

.

Note que: Em (C, +, )R , uma combina¸˜o linear dos vetorres de S = {1, i} ´ do tipo
ca
e
a.1 +
b . i , para a, b ∈ R.
escalar

vetor

escalarvetor

.

• Em (C2 , +, )R o subconjunto de quatro elementos S = {(1, 0), (0, 1), (i, 0),
(0, i)} ⊂ C2 ´ LI.
e

.

• De um modo geral, no espa¸o vetorial real (Cn , +, )R o subconjunto de 2n elementos
c
S = {(1, 0, ... , 0), (0, 1, ... , 0), (0, 0, ... , 1), (i, 0, ... , 0), (0, i, ... , 0), (0, 0, ... , i)} ⊂
⊂ Cn ´ LI.
e

´
Algebra Linear - Notas de Aula

6. Em M2 (R) osubconjunto S =

47
10
00

,

01
00

,

00
10

,

00
01

´ LI.
e

e
Generaliza¸˜o: Em Mm×n (R) o seguinte subconjunto de m.n matrizes reais ´ LI:
ca

1

 0


S = 0
 .
 .
.


0

0
0
0
.
.
.
0

0
0
0
.
.
.
0

···
···
···
...
···



0
0

0
0

0
,0
.
.
.
.
.
.
0 m×n
0

1
0
0
.
.
.
0

0
00
.
.
.
0

···
···
···
...
···



0
0

0
0

0
,···,0
.
.
.
.
.
.
0 m×n
0

0
0
0
.
.
.
0

0
0
0
.
.
.
0

···
···
···
...
···



0




0


0
.
.

.


.


1 m×n

7. Em M2 (C), temos:
c
• considerando M2 (C) como espa¸o vetorial complexo, o subconjunto de quatro ele10
01
00
00
mentos S =
,,
,
⊂ M2 (C) ´ LI.
e
00
00
10
01
• considerando M2 (C) como espa¸o vetorial real, o subconjunto de oito elementos
c
10
01
00
00
i0
0i
00
00
S=
,
,
,
,
,
,
,

00
00
10
01
00
00
i0
0i
⊂ M2 (C) ´ LI.
e
• De um modo geral, considerando Mm×n (C) considerado como espa¸o vetorial complexo
c
´ poss´ encontrar um subconjunto LI, formado por m.n matrizes econsiderado como
e
ıvel
espa¸o vetorial real ´ poss´ encontrar um subconjunto LI, formado por 2.m.n matrizes.
c
e
ıvel
Escreva estes subconjuntos!!!

8.

• Em P 1 (R) = {p(t) = a0 + a1 t : a0 , a1 ∈ R} o subconjunto S = {1, t} ⊂ P 1 (R) ´
e
LI.
• Em P 2 (R) = {p(t) = a0 + a1 t + a2 t2 : a0 , a1 , a2 ∈ R} o subconjunto S = {1, t,
t2 } ⊂ P 2 (R) ´ LI.
e
• De um modo geral, em P n (R) =...
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