Algebra

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´ NOTAS DE AULA DE ALGEBRA I

Valmecir Bayer 10 de setembro de 2007

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Sum´rio a
´ 1 CONJUNTOS, FUNCOES E LINGUAGEM LOGICA ¸˜ 1.1 Conjuntos e Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Opera¸˜es com conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.3 Fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 1.4 Imagens diretas e imagens inversas . . . . . . . . . . . .1.5 Composi¸˜o de fun¸˜es e ca co fun¸˜es invers´ co ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Rela¸˜es de Equivalˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . co e 1.7 Um pouco de linguagem l´gica . . . . . . . . . . . . . . . o 1.8 Apˆndice do Cap´ e ıtulo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 OS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 ´ NUMEROS INTEIROS A defini¸˜o de anel . . . . . . . . .ca An´is ordenados . . . . . . . . . . . e Homomorfismos de an´is . . . . . . e O princ´ ıpio da indu¸˜o matem´tica ca a Conjuntos finitos . . . . . . . . . . A constru¸˜o dos n´meros racionais ca u O algoritmo da divis˜o . . . . . . . a Representa¸˜o dos inteiros em bases ca 7 7 10 15 16 19 24 29 47 63 63 73 81 85 90 94 101 105

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3 DOM´ INIOS EUCLIDIANOS 3.1 Dom´ ınios euclidianos e ideais . . 3.2 O anel de polinˆmios . . . . . . . o 3.3 O teorema dafatora¸˜o unica . . ca ´ 3.4 Equa¸˜es diofantinas lineares . . co 3.5 Congruˆncias . . . . . . . . . . . e 3.6 A aritm´tica das classes residuais e 3

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111 . 111 . 123 . 133 .140 . 143 . 154

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´ SUMARIO

´ 4 O CORPO DOS NUMEROS COMPLEXOS 163 4.1 O corpo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2 Ra´ de n´meros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 ızes u 4.3 Os inteiros de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 ˆ 5 APENDICES 191 5.1 A constru¸˜o dos n´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ca u 5.2Os n´meros p-´dicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 u a

´ SUMARIO

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NOTACOES ¸˜
Anel = Anel comutativo com unidade N = {1, 2, 3, . . .} = Conjunto dos n´meros naturais u Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = Anel dos n´meros inteiros u Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = Subconjunto dos n´meros inteiros n˜o negativos u a Q = Corpo dos n´meros racionais u R = Corpo dos n´merosreais u C = Corpo dos n´meros complexos u Y X = Conjunto da fun¸˜es de X em Y co A∗ = Conjunto dos elementos invert´ ıveis do anel A Kern ϕ = n´cleo do homomorfismo ϕ u

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´ SUMARIO

Introdu¸˜o ca
Estas notas tˆm o objetivo de servir como texto para as disciplinas de e ´ ´ Algebra I e Algebra II do curso de Matem´tica da UFES. A inten¸˜o ´ a ca e apresentar os conte´dos seguindo asementas propostas pelo Colegiado do u Curso de Matem´tica. H´ v´rios textos que cobrem estas ementas, no entanto a a a ´ dif´ encontrar um que seja completamente adequado. A vantagem atual e ıcil de escrever textos para serem utilizados em disciplinas vem da facilidade de se processar mudan¸as ap´s terem sidos experimentados. Talvez nunca c o chegaremos a um texto ideal mas isto n˜o tem importˆncia poismudan¸as a a c para aprimorar e atualizar conte´dos s˜o sempre positivas. O objetivo final u a ´ proporcionar um aprendizado mais eficaz e agrad´vel. e a O material abordado est´ distribu´ da foirma seguinte. No cap´ a ıdo ıtulo I ´ apresentada a linguagem b´sica dos conjunto e fun¸˜es bem como uma e a co pequena introdu¸˜o ` l´gica matem´tica. No cap´ ca a o a ıtulo II, axiomatizamos os n´meros...
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