Algebra linear matrizes

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Faculdade Anhanguera de Jundiaí
Engenharia Mecânica – Ciclo Básico
Algebra Linear

ATPS: Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares
Maria Isabel Bianchi
Jundiaí 04.04.2011

Matrizes formam um importante conceito matemático, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósitodesta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.

Uma matriz Amin pode ser entendida como um conjunto de mim (m multiplicado por n) números ou variáveis dispostos em m linhas e n colunas e destacados por colchetes conforme acima indicado. Segue exemplo de uma matriz 2×3:

Rigorosamente, uma matriz Amin é definida comouma função cujo domínio é o conjunto de todos os pares de números inteiros (i, j) tais que 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. E os valores que a função pode assumir são dados pelos elementos aij.

Adição e subtração

Essa operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Sejam duas matrizes Amin e Bm×n. Então a matriz

R = A ± B é uma matriz mim tal que cadaelemento de R é dado por:

rij = aij ± bij #A.1#. Exemplo:

Multiplicação por um escalar

Nessa operação, todos os elementos da matriz são multiplicados pelo escalar. Se Amin é uma matriz qualquer e c é um escalar qualquer,

P = c A é uma matriz mim tal que

pij = c aij #A.1#. Exemplo a seguir.

Algumas propriedades das operações de adição e de multiplicação por escalar

Sejam asmatrizes A e B, ambas mim, e os escalares a e b.
a (bA) = ab (A) | #B.1# |
a (A + B) = aA + aB | #B.2# |
Se aA = aB, então A = B   | #B.3# |

Matrizes nulas, quadradas, unitárias, diagonais e simétricas

Uma matriz mim é dita matriz nula se todos os elementos são iguais a zero. Geralmente simbolizada por Om×n.

Assim, Oij = 0 #A.1#. Exemplo:

Matriz quadrada é a matriz cujo número delinhas é igual ao de colunas. Portanto, se Amin é quadrada, m = n. Exemplo:

Matriz unitária In (ou matriz identidade) é uma matriz quadrada n×n tal que

Iij = 1 se i = j #B.1#
Iij = 0 se i ≠ j #B.2#. Exemplo:

Uma matriz quadrada An×n é dita matriz diagonal se

aij = 0 para i ≠ j #C.1# Exemplo:

A matriz unitária é, portanto, uma matriz diagonal com os elementos não nulos iguais a 1.Uma matriz quadrada An×n é dita matriz simétrica se

aij = aji #D.1#. Exemplo:

Multiplicação de matrizes

Sejam Am×p e Bp×n, isto é, duas matrizes tais que o número de colunas da primeira (p) é igual ao número de linhas da segunda (p).

O produto C = AB é uma matriz mim (Cm×n) tal que

cij = ∑k=1,p aik bkj #A.1#. Exemplo:

No exemplo acima, os cálculos são:
c11 = 4.1+ 0.2 + 5.1 = 9
c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8
c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6
c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7

Na linguagem prática, pode-se dizer que se toma a primeira linha de A e se multiplica pela primeira coluna de B (a soma é a primeira linha e primeira coluna da matriz do produto). Depois, a primeira linha de A pela segunda coluna de B. Depois, asegunda linha de A pela primeira coluna de B e assim sucessivamente.

Ordem dos fatores

Notar que, segundo a definição anterior de produto, só é possível calcular AB e BA se A e B são matrizes quadradas. Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente. Em geral, AB ≠ BA. Exemplos a seguir.

Isso significa que nem sempre ocorre a propriedade comutativa. Se AB = BA,as matrizes A e B são denominadas comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.
Se os produtos A (BC) e (AB) C são possíveis de cálculo, então |  A (BC) = (AB) C  | #B.1# |
Se os produtos AC e BC são possíveis, então |  (A + B) C = AC + BC  | #B.2# |
Se os produtos CA e CB são possíveis, então |  C (A + B) = CA + CB  | #B.3# |
Se Ip é a matriz...
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