Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares

Ajuste de curvas por quadrados mínimos lineares
Felipe Leonardo de Aguiar e Wanderley Innocêncio Moreira Júnior Engenharia de Minas – 1o. Período Professor: Rodney Josué Biezuner Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear

1. Introdução
Utilizamos este método quando temos uma distribuição de pontos e queremos ajustar a melhor curva a este conjunto de dados. Inicialmente, vamos analisar o caso em que a curva de ajuste é uma função linear: y i = a + bxi Para que esta seja a reta que melhor se ajusta aos dados, devemos minimizar a soma das diferenças entre os valores de f(x) tabelados yi e os valores da curva de ajuste a+bxi em cada ponto. Mas esta diferença pode ser tanto positiva quanto negativa, o que pode ocasionar em uma soma nula das diferenças mesmo com os valores muito distantes da reta. Uma forma de evitar o cancelamento é minimizar o quadrado da diferença. Poderíamos ter escolhido minimizar o módulo da diferença, mas isto acarretaria em uma complicação nos cálculos, devido à necessidade de se obter as primeiras derivadas. Supondo que sejam p pontos tabelados, definimos a função: S (a, b) = ∑ ( y i − (a + bxi ) )2 i =1 p

Nossa problema agora é encontrar valores de a e de b que minimizam S(a,b). Usando notação matricial, com os resíduos definidos por ri = y i − (a + bxi ) e definindo as matrizes  y1   r1  1 x1        a  y2   r2  1 x 2  X =  , Y =  , R =  , A =  b M M M M           yp   rp  1 x p        segue que y i = a + bxi para todo i variando de 1 até p é o mesmo que AX = Y . Assim, como queremos minimizar S (a, b) = ∑ ri 2 i =1 p

em notação matricial temos que

∑ ri 2 = R T R i =1

p

onde R = Y − AX Denotando M = S (a, b), temos M = (Y − AX )T (Y − AX ) = Y T Y − X T AT Y − Y T AX + X T AT AX Queremos obter os parâmetro a e b ou, em notação matricial, o vetor X de modo a minimizar M. Para isso, o gradiente de M (ou seja, a derivada primeira da função de duas variáveis M) deve ser