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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciˆncias Exatas
e
Departamento de Matem´tica
a

´
Uma Aplica¸˜o de Algebra Linear ` Engenharia Civil:
ca
a
Projeto de Estrutura Met´lica
a
Prof. Ricardo Takahashi – DMAT
Considere o problema do projeto de uma estrutura met´lica como esbo¸ada na Figura 1. Trata-se de um
a
c
guindaste que dever´ i¸ar cargas. O problema consiste emdeterminar qual ´ o esfor¸o mecˆnico em cada
ac
e
c
a
viga da estrutura, de modo que se possa escolher as vigas com a resistˆncia adequada.
e
F1

1

F2

2

PSfrag replacements
3

4

5

6

Figura 1: Diagrama de estrutura met´lica composta de vigas.
a
O c´lculo das for¸as que incidem na estrutura, F1 e F2 , ´ imediato, conhecendo-se a massa que ir´ ser
a
c
e
a
suspensa eo comprimento do bra¸o do guindaste. Com essas for¸as, ´ preciso agora calcular a for¸a exercida
c
ce
c
por cada viga nos n´s (pontos de interse¸ao de duas ou mais vigas) para que a estrutura permane¸a em
o

c
equil´
ıbrio. Essas for¸as ser˜o denotadas pelas vari´veis fij , em que os ´
c
a
a
ındices indicam os n´s ligados por esta
o
viga. Assim, por exemplo, a for¸a f41 significaa for¸a exercida sobre o n´ 4 pela viga que liga o n´ 4 ao n´
c
c
o
o
o
1.
A somat´ria das for¸as em cada n´, de 1 a 6, deve ser nula tanto na dire¸ao horizontal quanto na dire¸ao
o
c
o


vertical. Para montar o conjunto de equa¸oes, tomemos como exemplo o n´ 1. O n´ 1 ´ afetado pelas vigas

o
oe
que o ligam aos n´s 2, 3 e 4. As equa¸oes que implicam no equil´
o

ıbriode for¸as sobre o n´ 1 s˜o:
c
o
a
f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1
(1)
f12 sin θ12 + f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0
1

sendo que θij representa o angulo entre a viga (ij ) e a vertical. Construindo cada equa¸ao da somat´ria das
ˆ

o
for¸as em cada um dos n´s, obt´m-se o seguinte conjunto de equa¸oes:
c
o
e

f12 cos θ12 + f13 cos θ13 + f14 cos θ14 = F1
f12 sin θ12+ f13 sin θ13 + f14 sin θ14 = 0
f21 cos θ21 + f23 cos θ23 + f24 cos θ24 = F2
f21 sin θ21 + f23 sin θ23 + f24 sin θ24 = F2
f31 cos θ31 + f35 cos θ35 + f32 cos θ32 + f36 cos θ36 = 0

(2)

f31 sin θ31 + f35 sin θ35 + f32 sin θ32 + f36 sin θ36 = 0
f41 cos θ41 + f45 cos θ45 + f42 cos θ42 + f46 cos θ46 = 0
f41 sin θ41 + f45 sin θ45 + f42 sin θ42 + f46 sin θ46 = 0
f35 sin θ35 + f46 sin θ46 +f54 sin θ54 + f63 sin θ63 = 0,
A ultima equa¸ao diz respeito ao equil´
´

ıbrio de toda a estrutura, que n˜o deve ter em conjunto nenhuma
a
acelera¸ao horizontal.

Claramente, fij = −fji . Assim, por exemplo, f12 = −f21 . O conjunto de vari´veis a serem determinadas,
a
portanto, pode ser arranjado no vetor:


f12
 f13 


 f14 


 f23 


f =  f24  .

 f35 


 f36 


 f45 
f46
Definindo um vetor F e uma matriz Ω da seguinte forma:


F1
0


 F2 


0


F =  0 ,


0


0


0
0


cos θ12

 sin θ12
 − cos θ12

 − sin θ12
Ω=

0


0

0
0

cos θ13
sin θ13
0
0
− cos θ13
− sin θ13
0
0

cos θ14
sin θ14
0
0
0
0
− cos θ14
0

0
0
cos θ23
sinθ23
− cos θ23
− sin θ23
0
0

2

0
0
cos θ24
sin θ24
0
0
− cos θ24
0

0
0
0
0
cos θ35
sin θ35
0
sin θ35

0
0
0
0
cos θ36
sin θ36
0
sin θ36

0
0
0
0
0
0
0
sin θ45

0
0
0
0
0
0
cos θ46
sin θ46





,





´ f´cil verificar que a Equa¸ao (2) ´ equivalente ` equa¸ao matricial:
ea

e
a

Ωf = F

(3)

Qual ´ a vantagem dese escrever (2) na forma (3)? H´ in´meras vantagens: Deve ter ficado claro para o
e
au
leitor que h´ uma regra simples que leva diretamente do desenho da Figura 1 para as entradas da matriz
a
Ω. Qualquer que fosse a estrutura composta de vigas que se ligam em n´s, a regra seria a mesma. Seria
o
poss´ representar por meio de uma matriz Ω qualquer estrutura, e essa representa¸ao poderia...
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