3 Exercicios Otimizacao

1 - Se 1.200 cm² de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa. sol.: Perímetro: 1.200 = x² + 4x.y
Vol = x².y

y = (1200 - x²)/4x

V(x) = x².(1200 - x²)/4x
V(x) = x.(1200 - x²)/4
V(x) = 300x - x³/4

V'(x) = 300 - 3.x²/4

V'(x) = 0
Se 3x² 1200 x² = 400 x = 20 cm

Logo: y = (1200 - (20)²)/ 4.20 y = 10

Com isso, temos que o maior volume possível da caixa, será:

V= x².y = (20)².10 = 4000 cm³
2 - Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de 10 m³. O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa $10 por metro quadrado. O material para os lados custa $ 6 por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato dos contêineres.
Sol.: V = x.2x.y = 2x².y = 10

A = 2x.x.10 + 2.x.y.6 + 2.2x.y.6
A = 20x² + 12xy + 24 xy
A = 20x² + 36xy

y = 10/2x² y = 5/x²

Substituindo em A:

A(x) = 20x² + (36.x.5)/x²
A(x) = 20x² + 180/x

A'(x) = (40x³ - 180)/x²

40x³ - 180 = 0 x = 1,65

Encontrando o valor de y: y = 5/x² y = 1,836

A = 20.(1,65)² + 36.1,65.1,836
A = 163,5

Conclui-se então que o custo dos materiais para o mais barato de tais contêineres seria de $ 163,5.

3 - As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área.

Sol.: A(impressa) = x.y = 384

A(total) = (x + 8).(y + 12)
At = x.y + 12x + 8y + 96

y = 384/x

At(x) = 384 + 12x + 3072/x + 96
At(x) = 480 + 12x + 3072/x

A't(x) = 0 + 12 - 3072/x²
A't(x) = (12x² - 3072)/x²

A't(x) = 0
Se 12x² - 3072 = 0 x² = 3072/12 x = 16

Sendo assim, um dos lados do pôster é x + 8 = 16 + 8 = 24 cm

y = 384/16 = 24

O outro lado do pôster é y + 12 = 24 + 12 = 36 cm

Sendo assim a dimensão do pôster para que ele tenha a menor área é 24 cm x 36 cm