2 4 1 LIMITES FUND

CÁLCULO I

1

IIII -- L
LIIM
MIIT
TE
ES
SE
EC
CO
ON
NT
TIIN
NU
UIID
DA
AD
DE
E
TEOREMA DO CONFRONTO

Se não pudermos obter um limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g  x  e h x .
 Suponha que g ( x )  f ( x )  h( x ) para qualquer x0 , exceto possivelmente em x  x0 .
Se

x em um intervalo de aberto contendo

g  x  e h x  tiverem o mesmo limite quando x  x0 , então f também terá esse limite.

 Suponha também que

lim g  x   L e lim h x   L

x  x0

x  x0

Então:

lim f  x   L

x  x0

UNIDADE II – 1º. LIMITE FUNDAMENTAL– Profa. Ivanilda Matile

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2

Exemplo de Aplicação do Teorema do Confronto
(a) Uma vez que

   sen   é válido para qualquer lim     lim    0 
 0

 0

lim sen  0
 0

(b) Uma vez que

0  1  cos    para qualquer  , temos que lim 1  cos    0 
 0

lim cos  1
 0

Exemplo 11 (STEWART, 2009, p. 94) – Teorema do confronto
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1º. LIMITE FUNDAMENTAL - TRIGONOMÉTRICO sen x  lim x  1 x 0

Teorema:

lim
 0

sen



1



em radianos

Prova:
O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1.

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Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de  menores que 

2

(Figura). Observe que:
Área

OAP < área do setor OAP < área OAT

Podemos expressar essas áreas em termos de  da seguinte maneira:
1
1
Área OAP  base  altura  1sen 
2
2
1
Área OAP  sen
2

1
1

Área do setor OAP r 2 .  12 . 
2
2
2
1
1
1
Área OAT  basealtura  (1)(tg )  tg
2
2
2

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1
1
1 sen    tg
2
2
2

A última desigualdade