1 Derivadas

MAT146 - C´alculo I - Derivadas
Alexandre Miranda Alves

17 de mar¸co de 2015

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

Motiva¸c˜ao de Derivada
Considere a seguinte fun¸c˜ao f (x) = x − 1

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

f ´e uma fun¸c˜ao afim, cujo gr´afico ´e uma reta. Observe que compreendemos bem o comportamento desta fun¸c˜ao. De fato, f (x) tem crecimento constante e proporcional ao crescimento de x.
Quando x → ∞ temos que f (x) → ∞ e quando x → −∞ temos que f (x) → −∞.
O mesmo n˜ao ´e verdade para a maioria das fun¸c˜ oes, ou seja, ´e muito complicado entender o comportamento da maioria das fun¸c˜oes. Abaixo mostramos o gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x + x 2 sin(

1
)
x2

Observe o comportamento de f (x) quando x se aproxima de zero.

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

Figura: O comportamento de f (x) pr´ oximo de x = 0

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

A maioria dos fenˆ omenos naturais (f´ısicos, qu´ımicos, biol´agicos, etc) e fenˆ omenos s´ ocio-econˆ omicos, s˜ao modelados por sistemas (de fun¸c˜oes e equa¸c˜ oes) mais complicados do que fun¸c˜ oes afim. Como entender o comportamento de tais fenˆ omenos? Uma das principais ferramentas do c´alculo ´e a derivada, cuja fun¸c˜ao ´e contribuir para a quest˜ao levantada acima. Come¸caremos a abordagem sobre derivadas definindo reta tandente a uma curva dada, em um determinado ponto da curva.

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

Reta Tangente

Considere o gr´afico de uma fun¸c˜ao real cont´ınua f , definido em algum intervalo I de R. Cada ponto do gr´afico de f ´e dado por
(x, f (x)), onde x ∈ I
Na figura abaixo mostramos a reta tangente ao gr´afico de uma fun¸c˜ao f , passando pelo ponto (x, f (x)).

MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

Figura: Reta tangente ao gr´ afico de f , passando pelo ponto (x, f (x)).
MAT146 - C´ alculo I - Derivadas

UFV

Como obter a reta tangente ao gr´afico de f no ponto (x, f (x))? Para responder esta pergunta, precisamos de alguns conceitos preliminares.