Álgebra

´ P2 de Algebra Linear I – 2012.2
20 de Outubro de 2012.

1) Considere a transforma¸˜o linear T : R3 → R3 definida por: ca T (v) = (−2, 1, 1) × v × (1, 0, 2) . a) Determine a matriz [T ] da transforma¸˜o linear T na base canˆnica. ca o b) Determine a equa¸˜o cartesiana da imagem de T , ca imagem(T ) = {w ∈ R3 tal que existe v ∈ R3 tal que T (v) = w}. c) Encontre, se poss´ ıvel, dois vetores diferentes u e w de R3 tais que T (u) = T (w) = (−2, 0, −4). d) Considere o plano π : x + y + z = 0. Determine uma base da imagem T (π) de π pela transforma¸˜o T . ca

2) Considere as retas de equa¸oes param´tricas c˜ e r : (a + t, 1 + t, 2t), t ∈ R, s : (t, −t, 1), t ∈ R. Determine, se poss´ ıvel, o valor de a para que a distˆncia entre as retas r e s a seja 1. 3) Considere a matriz  2 −1 0 A = −1 2 −1 . 0 −1 2 

a) Sabendo que λ1 = 2 ´ um autovalor de A, determine os outros autovalores e λ2 , λ3 de A. b) Determine, se poss´ ıvel, uma base β (de R3 ) formada por autovetores da matriz A. c) Encontre as coordenadas do vetor u = (10, 2, 5) na base β.

4) Sejam as matrizes 

 3 3 1 B = 0 1 2  , 0 0 −1

 3 3 1 C =  0 4 2 . −1 3 −1



a) Encontre a matriz inversa da matriz B. b) Encontre uma matriz A tal que AB = C. Verifique cuidadosamente suas respostas. Somente ser˜o consideradas resa postas totalmente certas.