Álgebra

FACULDADE DE TECNOLOGIA DA ZONA LESTE
ESPAÇOS VETORIAIS Definição: Dizemos que um conjunto não vazio V, dotado de duas operações: adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre  ( ou sobre C ) se seus elementos satisfazem as seguintes propriedades: Adição + : V x V  V (u,v) I u + v A1) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w) , u , v, w V A2) Comutativa: u + v = v + u, u , v V A3) Elemento neutro: 0vV tal que u + 0v = u , u V A4) Elemento oposto: u V, ( - u) V tal que u + (- u) = 0v

Multiplicação por escalar:  x V  V (,u) I u M1) ()u = (u), ,   , u V M2) ( + )u = u + u, ,   , u V M3) (u + v) = u + v,    , u, v V M4) 1.u = u , u V

Observação: a) Os elementos de um espaço vetorial qualquer são chamados vetores. b) Os elementos do conjunto  são chamados escalares Exemplos de espaços vetoriais: (, +, .), (C, +, .), (Mmxn(), +, .), (n (), +, .), n, etc. Matemática Discreta - 2011 1

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SUBESPAÇO VETORIAL Dado um espaço vetorial V sobre IR, sendo W um subconjunto desse espaço, dizemos que W é subespaço vetorial do espaço, quando W também é espaço vetorial sobre IR em relação as mesmas operações. Ex1: V = IR² (operações usuais) W1 = {(x, y)  IR² / y = x} W2 = Qualquer reta que passe pela origem. y y=x

x

Ex2: V = IR³ W1 = Qualquer reta que passe pela origem. W2 = Qualquer plano que passe pela origem. z y

x

Definição: Dado um espaço vetorial V sobre um corpo K ( IR ou C ) e W  V ( W é subconjunto de V), dizemos que W é subespaço vetorial de V quando, e somente quando: i) 0v  W ii) u, v  W  u + v  W iii)   k, u W   u  W Conseqüência: W é espaço vetorial sobre k em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V

Obs.: Todo espaço vetorial V tem, pelo menos, dois subespaços: V e { 0v} chamados de subespaços triviais.

Matemática Discreta - 2011

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