Q 10

´
LISTA 04 - ALGEBRA
LINEAR



0 3
0 1
2 −1 0 0

1. Considere a matriz A = 
1 0 −1 2. Verifique que A ´e invert´ıvel,
0 1
1 0 calculando seu determinante. Ache a matriz inversa da matriz A.
2. Encontre um subconjunto dos vetores dados que forma uma base do espa¸co gerado por estes vetores; em seguida, expresse cada vetor que n˜ao est´a na base como uma combina¸c˜ao linear dos vetores da base. .....................[1]
(a) v1 = (1, 0, 1, 1), v2 = (−3, 3, 7, 1), v3 = (−1, 3, 9, 3), v4 = (−5, 3, 5, −1)
(b) v1 = (1, −2, 0, 3), v2 = (2, −4, 0, 6), v3 = (−1, 1, 2, 0), v4 = (0, −1, 2, 3)
(c) v1 = (1, −1, 5, 2), v2 = (−2, 3, 1, 0), v3 = (4, −5, 9, 4), v4 = (0, 4, 2, −3), v5 = (−7, 18, 2, −8).
3. Seja W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | 2x + y = 0; t − z = 0} subconjunto do R4 .
(a) W ´e subespa¸co do R4 ?
(b) Determine dois conjuntos distintos geradores de W .
4. Encontre uma base e a dimens˜ao do espa¸co das solu¸c˜oes W de cada sistema homogˆeneo: ..........[6]
(a) x + 3y + 2z = 0
(b) x − 2y + 7z = 0
(c) x + 2y − z + 3s − 4t = 0 x + 5y + z = 0
2x + 3y − 2z = 0
2x + 4y − 2z − s + 5t = 0
3x + 5y + 8z = 0
2x − y + z = 0
2x + 4y − 2z + 4s − 2t = 0
5. Dˆe uma base para os espa¸cos-linha, -coluna e -nulo. .....[7]
(**) Observe que a dimens˜ao do espa¸co-linha e do espa¸co-coluna s˜ao iguais e que a dimens˜ ao do espa¸co nulo de A ´e igual `a quantidade de vari´aveis livres do sistema.


1 1 0
1
1 0 −1
(a) A =
(b) A = 0 1 −1 1 
1 1 1
0 1 −1 −1


2 −4 0 2 1
(c) A = −1 2 1 2 3
1 −2 1 4 4
6. Os seguintes vetores: ..................... [7]
(a) {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} formam uma base do R3 ?
(b) {(1, −1, 3), ((−1, 5, 1), (1, −3, 1)} formam uma base do R3 ?
(c) {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)} formam uma base do R4 ?
7. Sejam α = {a1 , a2 , a3 } e β = {b1 , b2 , b3 } bases para V , e suponha que a1 = 4b1 − b2 , a2 = −b1 + b2 + b3 e a3 = b2 − 2b3 .
a. Determine a matriz de mudan¸ca de coordenadas de α para β. ..............[5]
1

b. Determine