O lema de euclides

O lema de Euclides (do grego λῆμμα) é uma generalização da proposição 30 do Livro VII do Elementos de Euclides. El lema asegura que: O slogan que diz:

Si n es un número entero y divide a un producto ab y es coprimo con uno de los factores, entonces p divide al otro factor. Se n é um número inteiro e divide e é um produto ab Co com um dos fatores, então p divide o outro fator.

Euclides , 300 a. C. Euclides, 300 aC

Esto puede escribirse en notación moderna como: Isso pode ser escrita em notação moderna como:

\ Se mbox) (n \ meados aB \ mbox (e) \ operatorname () mcd (n, um) = 1 \ mbox então) (n \ meados b

La proposición 30 original, más conocida como primer teorema de Euclides dice que: A proposição original 30, mais conhecido como o primeiro teorema de Euclides disse que:

Si p es un número primo y divide al producto de dos enteros positivos, entonces el número primo divide al menos a uno de los números. Se p é um número primo e divide o produto dos dois inteiros positivos, então o número primo divide pelo menos um dos números.

Euclides , 300 a. C. Euclides, 300 aC

En notación moderna Em notação moderna

\ Se mbox) (p \ meados aB \ mbox (então) p \ meados uma \ lor p \ meados b

El lema de Euclides se utiliza generalmente para demostrar otros teoremas, por ejemplo, es usado para demostrar el teorema fundamental de la aritmética . O lema de Euclides é geralmente utilizado para provar teoremas outros, por exemplo, é utilizado para provar o teorema fundamental da aritmética. Demonstração

* Supongamos, sin pérdida de generalidad, que p es coprimo con a y veamos que divide a b . Suponha, sem perda de generalidade, que é p Co e com um olhar que divide b. Por definición, p y a Por definição, e p

son primos entre sí (esto se puede abreviar como mcd( a , p ) = 1 ) sí y sólo si existen números enteros x e y ( identidad de Bézout ) tales que: são primos entre si (o que pode ser abreviado como mdc (a, p) = 1) sim e apenas se