Vetoresalgebrico

VETORES: O TRATAMENTO
ALGÉBRICO

Observe que:

Dados dois vetores v1 e

v2 não-paralelos,

para cada vetor

v representado no mesmo plano de v1 e v 2 , existe uma só dupla de números reais a1 e a2 tal que

v  a1 v1  a2 v2

v é combinação linear de v1 e v2

O conjunto B = {v1 , v2} é chamado base.
Trataremos apenas da base ortonormal (seus vetores são unitários e ortogonais) que determina o sistema cartesiano xoy.
Os vetores ortogonais e unitários são simbolizados por i e j, ambos com oriem em O e extremidades em (1, 0) e (0, 1).

Então, dado um vetor v do plano, existe uma só dupla de números reais x e y tal que

v  xi  y j

O vetor v também será representado por v = (x, y)
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
Exemplos:

3 i  5 j  (3,5) i  j  (1,1)
 4i  (4,0)
0  (0,0)

De forma análoga, no espaço temos a base canônica { i, j, k } como aquela que irá determinar o sistema cartesiano ortogonal
Oxyz onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais, estão representados com origem no ponto O.

Então, dado um vetor v do espaço, existe uma só tripla de números reais x, y e z tal que

v  xi  y j  z k
O vetor v também será representado por

v = (x, y, z)
Exemplos:

2 i  3 j  k  (2,3,1) i  j  (1,1,0)
4k  (0,0,4)

Igualdade de vetores

Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) u=v x1 = x2, y1 = y2 e z1 = z2

Operações com vetores

Dados u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2 , z2) e αЄ R

1) u  v  ( x1  x2 , y1  y2 , z1  z2 )
2)  u  (x1 , y1 , z1 )

1) Dados v   2, 0,1 e w   3,5, 4  , obtenha

vw
3v
w

w  2v .

2) Encontrar os números a1 e a2 tais que v  a1 v1  a 2 v 2 , sendo v  (10,2) , v1  (3,5) e v 2  (1,2) .

Vetor definido por dois pontos
Se A (x1, y1, z1) e B (x2, y2 , z2) são dois pontos quaisquer do espaço, então
AB  B  A  ( x2  x1 , y2  y1 , z2  z1 )

3) Obtenha as coordenadas do vetor P1 P2 no plano e AB no espaço sendo P1  1,3 , P2   4, 2  , A   0, 2,5  e B 