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Vigas biapoiadas
Vigas biapoiadas estão entre as estruturas esbeltas mais simples e comuns nas aplicações em problemas de engenharia. Seu comportamento dinâmico nãolinear é satisfatoriamente bem conhecido e, de acordo com Evensen (1968), a maioria dos estudos de vibrações não-lineares em vigas trata daquelas simplesmente apoiadas. Ainda de acordo com Evensen (1968), vigas sob essas condições de contorno apresentam soluções lineares e não-lineares de forma e tratamento mais simples que aquelas com outros tipos de apoio. Isso viabiliza uma comparação entre modelos numéricos e modelos analíticos ou semi-analíticos de forma mais detalhada e clara. Por essas características, os modelos de redução de dimensão serão desenvolvidos a partir do tratamento de vigas biapoiadas. Este desenvolvimento é o tema deste capítulo.
3.1.
Análise linear
Os modelos reduzidos para estudo de vibrações não-lineares em geral usam a hipótese que os modos lineares podem ser empregados como uma primeira aproximação do modo não-linear em problemas de vibrações com grandes amplitudes (Mook et alli, 1985; Bennouna e White, 1984). Desse modo um conhecimento do comportamento linear do sistema em estudo é necessário antes do desenvolvimento e da aplicação de metodologias para sua análise não-linear.
Nesta seção, o comportamento linear é estudado primeiramente com a obtenção da solução exata da equação de movimento linearizada e, depois, por métodos numéricos de aproximação, finalizando com uma comparação entre os resultados obtidos por ambas as abordagens.
3.1.1.
Solução analítica
A forma linear da eq. (2-32), no caso de vibração livre não amortecida, é expressa por:
42
, 0
*
,
4 * a w tt + w zzzz = (3-1)
A equação anterior pode ser resolvida por separação de variáveis. Uma vez que o objetivo é encontrar soluções harmônicas, a seguinte solução é assumida:
(z ,t ) f (z )cos(t ) * * w = X , (3-2) em que X* é a amplitude do deslocamento transversal e f(z) é a função