Trigonometria

Matemática elementar/Trigonometria/Adição, subtração, duplicação e bissecção de arcos

Nesta página aprenderemos a efetuar operações trigonométricas que envolvam a adição, subtração ou multiplicação de números reais.

Adição de arcos

Cosseno da soma



Considere a figura ao lado. Sejam três pontos  e  pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são  e  Os arcos  e  têm medidas iguais, logo as cordas  e  também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:





Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:



Seno da soma

Sabemos que  A partir disto e sendo  obtemos:

▪ 

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

▪ 

Substituindo  e  nesta expressão, então:



Tangente da soma

Sabendo que  e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para 

▪ 



Então:



Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se  e  porque a relação  só é válida se e somente se 

Cotangente da soma

Como  podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para 

▪ 



Simplificando, temos:



Como  é válida se e somente se  a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se  e 

Exemplos

▪ Calcule:



▪ Resolução





↑Retroceder uma secção

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular  fazemos uso da igualdade  na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

▪ 



Então:



Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade  para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

▪ 

Logo,



Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade  e, desta vez, a fórmula da