Transformações geométricas

Transformações Geométricas
Prof. Danilo Douradinho Fernandes

Transformações
 Transformação é uma função que mapeia pontos de um espaço Euclidiano em outros (ou possivelmente os mesmos) pontos do mesmo espaço.

 Se uma transformação é linear, então  Se um conjunto de pontos está contido em uma reta, depois de transformados eles também estarão contidos sobre uma reta.  Se um ponto P guarda uma relação de distância com dois outros pontos Q e R, então essa relação de distância é mantida pela transformação.

 Transformação mapeia origem na origem?  Sim: Transformação Linear  Não: Transformação Linear Afim: Translações são permitidas Transformações Lineares em 2D
 Uma transformação linear

 Uma transformação linear afim

Transformações Lineares em 2D
⎡ x'⎤ ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣c d ⎦ ⎣ y ⎦ ⎡ x'⎤ ⎡2 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ × ⎢ ⎥ ⎣ y'⎦ ⎣1 1 ⎦ ⎣ y ⎦

⎧ x' = 2x ⎨ ⎩ y' = x + y
€

⎡a c ⎤ y [ x' y'] = [ x € ] × ⎢b d ⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦

 Utilizaremos este:

€

[ x'

y'] = [ x

Transformações Lineares em 2D
 A matriz 2x2 é uma imagem dos vetores unitários
[1 0] e [0 1]:

[ x'

y'] = [ x

⎡2 1⎤ y ] × ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦

€

⎡2 0 ⎤ [2 1] = [1 0] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 0 ⎤ [0 1] = [0 1] × ⎢1 1⎥ ⎣ ⎦

€

Rotação
 Rotação na origem:
 (cos , sen ) é a imagem de (1,0)  (-sen , cos ) é a imagem de (0,1)

 Matrix de rotação:

θ senθ ⎤ ⎥ € θ ⎦ cos

[ x'

y'] = [ x

⎡ cos θ y ] × ⎢ ⎣−senθ

Mudança de Escala
 Com ref. na origem:
⎧ x' = sx x ⎨ ⎩ y' = sy y

 Matriz de mudança:
€

[ x'

y'] = [ x

⎡sx y ] × ⎢ ⎣ 0

0 ⎤ ⎥ sy ⎦

 Casos especiais:
 Reflexão em torno de 0: sx = sx = 1  Reflexão em torno de x: sx = 1, sy = −1 €  Reflexão em torno de y: sx = −1, sy = 1

€ €

Cisalhamento
 Sobre o eixo x:
⎧ x' = x + ay ⎨ ⎩ y' = y

 Sobre o eixo y
⎧ x' = x ⎨ ⎩ y' = bx +