trabalho

Álgebra Linear
Profª. Ana Cláudia Sokolonski

3ª Lista de Exercícios
Espaços Vetoriais
Questão 1. Nos quesitos abaixo estão conjuntos com a adição e a multiplicação por escalar definidas.
Determine se eles são ou não espaços vetoriais.
a) ℝ3 , (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥 ′ , 𝑦 ′ , 𝑧′) = (𝑥 + 𝑥 ′ , 𝑦 + 𝑦 ′ , 𝑧 + 𝑧′) e 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0)
b) ℝ2 , (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏) e 𝑘(𝑎, 𝑏) = (𝑘𝑎, 𝑘𝑏)
c) ℝ2 , (𝑥, 𝑦) + (𝑧, 𝑤) = (𝑥 + 𝑧, 𝑦 + 𝑤) e 𝑘(𝑥, 𝑦) = (𝑘𝑥, 0)
d) 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 /𝑦 = 5𝑥} com as operações usuais
e) 𝐴 = {[

0
𝑏

𝑎
] ∈ 𝑀2 / 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} com as operações usuais
0

Questão 2. Determine dos quesitos abaixo quais são subespaços dos espaços citados.
a) 𝑆 = {(𝑎, 𝑏)/ 𝑏 = −𝑎} Subespaço do ℝ2
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑥²)/ 𝑥 ∈ ℝ} Subespaço do ℝ2
c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 + 3𝑦 = 0} Subespaço do ℝ2
d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑥 = 4𝑦 𝑒 𝑧 = 0} Subespaço do ℝ3
e) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑧 = 2𝑥 − 𝑦} Subespaço do ℝ3
f) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧); 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} Subespaço do ℝ3
g) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/ 𝑥𝑦 = 0} Subespaço do ℝ3
h) 𝑆 = {(4𝑎, 2𝑎, −𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} Subespaço do ℝ3
𝑏
] ; 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 𝑒 𝑑 = 0} Subespaço do 𝑀2
𝑑
𝑎
𝑎+𝑏
j) 𝑆 = {[
] ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} Subespaço do 𝑀2
𝑎−𝑏
𝑏
𝑎 𝑏
k) 𝑆 = {[
] ; 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0} (Conjunto das matrizes inversíveis) Subespaço do 𝑀2
𝑐 𝑑
i)

𝑎
𝑆 = {[
𝑐

Questão 3. Sejam os vetores 𝑢 = (2, −3, 2) e 𝑣 = (−1, 2, 4).
a) Escreva o vetor 𝑤 = (7, −11, 2) combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
b) Para que valor de 𝑘 o vetor (−8, 14, 𝑘) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣?
c) Determine uma condição entre 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que vetor (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣.

Questão 4. Sejam os vetores 𝑎 = (−1, 2, 1), 𝑏 = (1, 0, 2) 𝑒 𝑐 = (−2, −1, 0). Expresse cada um dos vetores abaixo como combinação linear de 𝑎, 𝑏 e 𝑐.
a) 𝑢 = (−8, 4, 1)
b) 𝑣 = (0, 2, 3)
c) 𝑤 = (0, 0, 0)

Questão 5. Seja S o subespaço de 𝑀2 :
𝑆 = {[

𝑎−𝑏
𝑎+𝑏

2𝑎