trabalho matematica discreta

Matemática Discreta
Trabalho 3

1­
a) R^­1 = {(2,1),(3,2)} FALSA R={(1,2),(2,3)} R°R^­1={(2,2),(3,3)} ≠ R={(1,2),(2,3)}

b)Partindo que S é uma relação de ordem parcial, S é reflexiva, ou seja, ∀a∈A |(a,a)∈S, e pela def de inversa s^­1 será ∀a∈A|(a,a)∈S^­1. Portanto s^­1 é reflexiva. S é antissimétrica, logo {∀a,b∈A|(a,b),(b,a)∈S^­1 ­> (b=a)}, e pela def de inversa s^1 será ∀a,b∈A|(b,a),(a,b)∈S^­1 ­>(b,a)
Portanto S^­1 é antissimétrica. S é transitiva ∀a,b,c|(a,b),(b,c)∈S ­>(a,c)∈R pela definição de inversa
S^­1={(b,a),(c,b),(c,a)} ou (c,b),(b,a)∈S^­1 ­>(c,a). Portanto S^­1 é transitiva, S é uma relação de ordem parcial. c) FALSA

{(1,3),(2,4)}
R é uma função, porém não é simétrica

2­ Verdadeira
Seja f uma função de A­> B Rf{(a,b) ∈ AxA | f(x) = f(g)}
Logo,podemos dizer que f(x) =f(b) ∀ (a,b) ∈ Rf
Logo, idA C Rf então R é reflexiva. Por def. de simetria se (a,b) ∈ Rf então (b,a) ∈ Rf como f(a) = f(b) então Rf é simérica. Como f(a) = f(b) temos que a=b então se c AxA tq. f(a) = f(b) com a=b=c,logo se (a,b),(b,c) temos (a,c) ∈ Rf,portanto Rf é transitiva

3­
Seja A e B conjuntos, A={a,b,c} e B={1,2,3} seja f uma função de A­>B ; f = {(a,1),(b,1),(c,2)} e R = IdA U (a,c) , (a,b) uma relação de
A­>A.
f(R)={(1,1);(2.2),(1,2)}; a) Reflexiva: não,pois (3,3) ∉ f(R); b) Simétrica: Não,pois (1,2) ∈ f(R) e (2,1) ∉ f(R); c)Anti­simétrica: Sim, pois (1,2) ∈ f(R) e (2,1) ∉ f(R); d) Transitiva ­> Sim,pois ∀(a,b),(b,c) ∈ f(R)

(a,c) ∈ f(R)